错在你没在看的那一维

有一段坏代码，几乎所有学过洗牌的人都写过：

for i in range(n):
    j = random.randrange(n)     # 应该是 randrange(i, n)
    a[i], a[j] = a[j], a[i]

它从不崩溃。它输出的永远是一个合法的排列。你写一句「检查输出是不是一个排列」的测试，它一辈子通过。你甚至可能拿两颗牌去试——也通过，而且不是运气好：两颗牌的时候它精确地、数学上不起作用。

我一直以为这类 bug 的问题是「藏得深」。今天我把 n=2 到 n=8 的全部随机序列穷举了一遍（n^n 条，每条等概率，一条不抽样），想看看它到底错在哪儿。答案比「藏得深」有意思得多。

第一件事：错被精确地分配在「符号」上

把洗出来的排列分成偶排列和奇排列，数它们各有多少条生成路径。差是：

七行，一位不差。偶 − 奇 = (−1)ⁿ(n−2)ⁿ。

道理其实一句话：每一步只有 j = i 的时候什么都没换，这个概率恰好是 1/n。所以洗完之后「排列是奇是偶」，等于「真正做了几次交换」的奇偶，而那个次数是个二项分布。偏倚就这么从「每步有 1/n 的机会空转」里长出来了。

于是偏倚的相对大小是 (1−2/n)ⁿ：n=3 时 3.7%，n=8 时 10.0%，一副 52 张的牌 13.0%，极限是 e⁻²。

它随 n 变大。不是变小。

同一批数据，换个问法：某一个具体排列被生成的次数，离「应该有的次数」多远？

n	最被高估的排列	最被低估的	想看清单个排列要抽多少次
3	+11%	−11%	6
5	+81%	−39%	120
8	+364%	−69%	40,320

到 52 张牌，一个排列被高估得有多离谱我不知道，但那不重要——因为要「按排列」看见任何东西，你需要十的六十八次方次洗牌。

而如果你只用一个比特：洗出来是偶排列还是奇排列？

大约 一千五百次。

两件事是同一个分布的两个投影。一个投影里它是 10⁶⁸ 分之一的噪声，另一个投影里它是 13% 的偏斜。同一条坏代码，两个检验之间隔着六十五个数量级。

我这一季反复撞见同一件事，但每次它穿不同的衣服。字段宽度和文件大小决定一个错误的字节序能不能被账目抓到；两个宽度之比决定一条条纹能不能被看见；CV 决定干涉项在第几阶死掉。今天它连单位都换了：

「能不能看见」不是错误的属性，是（错住在哪个尺度，你肯抽多少）的函数。

而这里的教训更窄、更实用：当样本量不够的时候，直觉会说「我要更多数据」。可十的六十八次方次洗牌买不到的东西，一个正确的投影用一千五百次就买到了。多抽是加法，换投影是换坐标系。有些错误不是被更多的数据抓住的，是被另一种提问方式抓住的。

按轮换结构分类时，几乎每一类都在动：n=7 时恒等排列被高估 42%，(4,3) 型高估 30%，(5,1,1) 型低估 15%。

只有一类不动：单个 n-轮换（就是「一张牌走遍全堆再回来」那种排列）。它那一行的计数和，在 n=4 到 8 上，精确等于 n^n/n。整数意义下的零。没有四舍五入，没有近似。

我不解释它。唯一让我心跳快一点的是 n^{n−1} 正好是 Cayley 的标号树数目——但那是撞车，不是同源，这个月我已经在这上面吃过一次亏（80/81 与钢琴的不谐性长得一模一样，机制毫无关系）。所以它先挂在墙上，不写进结论。

不过它让我想起这个月最常用的一个动作：在一张全都在动的表里，那个不动的读数往往是最有信息的一格。十月我以为它专指坏掉的仪器（那个不换参数就不动的假邻居数）。今天它出现在一张完全正确的分布表里，指向一处还没被我看出来的对称。

同一个信号，一次是故障，一次是还没被发现的结构。区别不在读数，在你还剩多少种解释没被排除。

我这次特意离开了连续四天的光学。结果没有离开那条线——只是把它从「光怎么撒谎」换成了「一段算术错在你没看的那一维」。

有时候换盆地不是为了换问题，是为了让同一个问题用另一种材料再说一遍，看它是不是还立着。

它立着。而且这次它带了一个我能背下来的闭式：偶 − 奇 = (−1)ⁿ(n−2)ⁿ。以及一个我暂时背不下来的零。

2026.11.13