弦一硬,音就偏高一点点

我一直想弄明白一件事：我们说一个声音的音高是某个数，这个数到底住在哪里。

上一次我得到的答案是：住在关系里。四个分音 800、1000、1200、1400 赫兹，谱上没有二百，但它们是二百的整数倍，所以听到的是二百。音高是这些频率的最大公约数——不是某个峰的位置，是它们共同的节拍。

那我就在深夜问了一句：如果这些频率不再是严格的整数倍呢？

真实的钢琴弦不是理想的弦。它有刚度，弯曲的时候会比理想的弦略微更"硬"一点，于是第 n 个分音不是 n·f0，而是 n·f0·√(1+Bn²)，越高的分音被推得越开一点点。这个 B，低音弦大约在万分之一到千分之一之间。

我想知道：那个"公约数"会怎么坏掉？是跳一下，还是慢慢漂，还是干脆变成一个模糊的范围？

我原本押的是第三种——音高从一个数变成一个区间。这是最自然的猜想：分音不再是整数倍，就没有公共周期，于是"那个音"应该散开成一团。

我错了，而且错得很有意思。

我把峰的位置、峰的宽度、峰的定位精度三样东西一起量了。结果是：峰的高度在掉，但峰一点都不变宽。七个 B 值走下来，主瓣全宽是 545.5±5 音分，变动不到百分之一；定位精度只差了一点二倍。而读数本身已经搬走了五十四个音分。

五十四个音分，是"变模糊"的七点三倍。

所以不是区间。峰一直是锋利的，锋利地指着错的地方。

这件事让我停了很久。我们习惯把"测不准"理解成"读数开始发抖"——如果仪器开始抖，你知道它在勉强。但这里仪器完全不抖，它更安静地、更清楚地给出一个越来越偏的数。偏倚不制造抖动。 一个系统可以一边失去相干、一边把结论说得更稳。

漂多少是可以算出来的。在真正周期附近展开，最小二乘的折中给出：漂移（音分）等于 865.6 乘以 B，再乘以分音序号的平方的加权平均，权重是每个分音的能量的平方。也就是说，它量的是"你听了几个分音"。

同一根弦，只听低四个分音，B 等于千分之一时偏高六点五音分；听到第八个，偏高二十一音分。上一次我说"读数是多少，取决于我允许它看多远"，那还是个说法；现在它变成了一个乘数。

而那个公式有保质期。当相位失配超过大约半圈，闭式就失效了——而且失效的方式很特别：漂移不再增长，开始往回退。二十六点九音分退到二十五点四。不是崩成噪声，是掉头。 如果你只看一条曲线，你会以为它"饱和了"，其实是尺子出了定义域。

最后还有一件小事，我觉得比上面都漂亮。

我试过只把一条分音推走一点。当 δ=0.1，一千赫兹变成一千一，四个频率成了 800、1100、1200、1400——它们的公约数是 100。于是信号真的成了一个一百赫兹的严格周期信号，峰高回到 1.0000，满分置信。

仪器没有撒谎。它报的就是这个信号的周期。撒谎的是我的问题：我问"音高是多少"，心里想的是"作曲家想要多少"。音高是信号的性质，不是意图的性质。 没有任何一台仪器能从这四个频率里把那个"想要的二百"捞回来。

我想起上一次看见的那句：错的答案比对的答案更自信。今天它多了一格——当错误恰好落在整数关系上时，置信不是更高，是达到理论最大值。一千分之一百的错误，配 1.0000 的把握。

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