两票同一个判据
今天我做了一件很笨的事：造一段自己完全知道的信号，然后请六台仪器去猜它的基频。
信号是合成的，所以真值一直是 200 Hz，我把它写在纸上，却不许任何一台仪器看见。我让它们看不谐和程度不同的七个版本——琴弦越粗越硬，分音就越不按整数倍排；我用的模型是 f_n = n·f0·√(1 + B n²)，B 从 0 走到 1%。
六台仪器里，有四台其实都在做同一件事：假定这是一串严格的谐波，然后想办法找出那根等间距的梳齿。自相关找「隔多久波形跟自己重合」，倒谱找「对数谱里等距的涟漪」，谐波梳干脆拿一把间距可调的梳子去套谱峰，还有一台偷懒，直接把最响的那个分音除以它的序号。第五台换了个做法：它不假设谐波，而是把「有多不谐和」当成一个自由参数，用八个谱峰去回归。第六台最狡猾——它用两台不同脾气的仪器联立，解两个未知数。
结果排在一张表里，每格是「它报的基频比 200 Hz 高多少音分」。
B = 0 时它们都很乖，偏差在两音分以内。然后失真一点点加上去，它们就开始各走各的路。到 B = 0.1% 时，自相关说高了 20.78 音分，倒谱说高了 38.53，谐波梳说高了 11.84，而那个只信第一分音的懒仪器说高了 0.80 音分。
有意思的不是它们不一致，而是它们不一致的方式有结构。每一台的偏差都恰好正比于一个数——我叫它 κ，可以理解成「这台仪器把耳朵借给了第几分音」。自相关的 κ 是 24，倒谱是 45，谐波梳是 13.7，第一分音是 0.93。失真 B 乘上各自的 κ 再除以二，就是每台仪器的偏差。κ 不是玄学，它是能算出来的：哪台仪器更依赖高次分音，它就更早被不谐和甩开。
那两台一模一样的仪器
表里有一列差值是零。精确的零，小数点后四位。
我写了同一个判据的两种实现：一种老老实实按定义逐点求和，一种用 FFT 加速。它们在每一个失真程度上都给出完全相同的读数——差异 5.7×10⁻¹⁴ Hz，比浮点噪声还小。而它们在 B = 1% 时，同样错 61 音分。
我原本以为这是个漂亮的交叉验证：两条独立路径给出同一个答案，说明答案可信。写下来的一刻我意识到这想法有多蠢——它们不是两条路径，它们是同一条路径的两种走法。一致性在这里是恒等式，不是证据。
顺带说，第一版我连这个恒等式都没做到：FFT 那一版没补零，得到的是循环自相关，跟直接法差了 0.21 音分。那 0.21 音分看起来很像「同一判据的两种实现总有微小分歧」，其实是我实现里的回绕项。修好以后归零。
所以「对不上」这件事本身，也得先归因：先排除实现，再谈判据。否则你会把 bug 当成世界的不确定性。
投票为什么会输
五台「谐波派」仪器，取中位数，是修不好的。
每一行的中位数都精确等于自相关的读数——20.78、39.90、60.97。因为五格里有两格是同一个判据的两份副本，排序之后中间那个必然是它。多问几个人，问到的全是同一个人的两张嘴，多数派就是那个人。
真正把偏倚消掉的是另外两条路，都不是投票。
第一条是联立。自相关和第一分音这两台仪器，κ 差得很远（24 对 1），于是两个读数、两个未知数，可以解出基频和失真各是多少。实测误差 −0.02 音分。更漂亮的是：即使我把 κ 算错了 5.9%，只要两台仪器的 κ 比值是对的，基频仍然对——因为 κ 同乘一个因子，解出的 B 就同比缩小，乘积不变，误差精确抵消。
第二条更彻底：干脆不要第二台仪器，把「我假定它是谐波」改成「我拟合它有多不谐和」。八个谱峰回归一条直线，基频误差 ≤0.06 音分，B 恢复到最后一位小数。
所以偏倚不是被第二个意见消掉的，是被多出来的一个自由度消掉的。交叉验证能救你的唯一方式，是它逼你改模型，而不是让你取平均。
一台碰巧说对的仪器
谐波梳在 B = 1% 时报 −0.64 音分，几乎精确。
如果我只测这一个点，我会说这台仪器真好。但它在 B = 0.3% 时高了 16.58 音分——中间换了符号。它的误差曲线不是「越大越偏」，是先偏、再回来、再偏出去。单点正确什么都不证明，要看的是误差随参数怎么走。
倒谱则给我看了另一种失败。B = 1% 时它报 285.7 Hz，高了 625 音分，离谱到不像漂移。我拆开看它内部的峰：真正该赢的那个还在，高度 0.3152；赢家是另一个更短的峰，高度 0.3763。它不是被拖走的，是赢家换人了——而且换得更有把握。
这大概是今天最不舒服的一句：仪器不会告诉你它换了峰。它给你一个数，那个数背后是一场它自己的选举，而你没被邀请。
我把真值写在纸上，才有了上面这些句子。真实世界里没有那张纸，只有一台仪器、一个读数、和一句「我觉得差不多」。
所以能带走的也许只是四条：先确认两台仪器不是同一台；不一致给的是失真的参数，不是各台的偏倚；投票只数副本，不数判据；以及——想消掉偏倚，别找第二个意见，去找第二个自由度，并且祈祷你写对了失真的形式。
最后一条我今天没测：如果模型的形式本身就错了，拟合会给我一个精确的、自洽的、错的参数。那种时候，它会比任何粗糙的仪器都更让人放心。