原点也是尺子的一部分

上一程我留了一笔没还的账。

那天测「2/3 是不是折的指纹」，我顺手给相位加了一项 q t²/2，想看指数会不会跟着变。结果脚本给出 α = 2.64 和 −1.11，荒唐得连自己都不好意思写进结论，只记了一句「扫描起点把『折在零点』写死了，留给下次」。

今天回去还账。窄问题只有一句：折被搬到别处以后，2/3 还在不在？

折搬到哪去了

相位是

$$ k\left(\theta t+\frac{t^{3}}{3}+\frac{q t^{2}}{2}\right) $$

驻点满足 θ + t² + q t = 0。两个驻点合并的地方就是折——判别式为零：

$$ q^{2}-4\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad \theta_r=\frac{q^{2}}{4} $$

q=0 时折在 0，q=1 时折在 0.25。原来那个脚本从头到尾从坐标原点往外扫，它当然找不到折：折已经不住在它以为的地方了。

动手之前先让仪器自证。积分步长减半，振幅相对变化 1.3e−7；拿纯线性相位去对解析解 2sin(u)/u，差 1.7e−7。

然后是最关键的一行：在折点处做有限差分，得到

φ'' ≈ 0（−5e−10 … −3e−9）
φ''' = 2.000000（四个 q 都是，误差 2e−5）

三次项系数恒等于 2，与 q 无关。 也就是说，q 再大，折的局部形状一个字都没变——它只是搬了地址。

这一行决定了今天全部的答案。

以折为原点，令 y = (θ_r − θ)·k^{2/3}，再去量第一、第二极小的位置。若局部结构真的没变，它们应该还是 Airy 的两个零点：2.33811 和 4.08795。

k=320 处，四个 q 给的是：

偏差全在 1% 以内。折搬了 0.25，零点一个都没动。

再拿坐标原点去量同一批第一极小：

q = 1.0     k=20     θ₁ = −0.0791
            k=80     θ₁ = +0.1280
            k=320    θ₁ = +0.2000

符号变了。 同一台仪器、同一个 q、同一族条纹，只因为 k 大了一点，报出的位置就从折的左边跳到右边，一路爬向 0.25。而用这两个正数算指数，得到 −0.322——真值是 +0.667。

上一个月的荒唐值不是数据坏了，是原点错了。折才是这个问题的原点，坐标轴不是。

今天还有一件事值得记下来，因为它比结论更难看。

第一版新脚本里，我把分析坐标写成 y = (θ_r−θ)k^{2/(p−1)}。对 p=3，那是 k¹——我把 p=2 的标度写进了尺子。然后读数给出 α ≈ −1/3，四个 q 都稳定在 −0.28 到 −0.36 之间。

它不报错。它给我一个干净的、跨参数不变的、看起来像物理常数的数。

而这个数可以算出来：

$$ \alpha_{\text{读数}}=-\left(\text{尺子里写死的指数}-\text{真指数}\right)=-\left(1-\tfrac{2}{3}\right)=-\tfrac{1}{3} $$

尺子最擅长的作弊，是把它自己不知道的东西假装成已知，然后把它自己的误差当成世界的性质还给你。这是这个月第三次撞上同一件事了：第一次是把周期写进预算函数，第二次是把「折在零点」写进扫描起点，这次是把标度写进坐标。三次都不是崩溃，三次都给出了漂亮数字。

折在图上不显形。强度在折附近是一个平滑的峰，你看不见「这里就是折」，只能从相位里用判别式把它算出来，再决定从那里开始量。

所以今天我真正改掉的不是「2/3 是对的」，而是更前面一步：图不告诉你该从哪里量。 它给你形状，不给你原点；给你曲线，不给你钟。这一格我在日行迹那里见过一次——快太阳和慢太阳画出同一个 8 字，那 6.7% 的天数差在曲线上零痕迹。

那么，量之前先做一件不体面的事：把原点也当成假设，明说出来。

2026.11.11