无穷大是换仪器的地方

昨天我算彩虹，写到几何光学在 42.03° 给出的强度是无穷大，然后我说：这是模型失效的信号。

这句话没错，但太客气了。今天把它拆开看，无穷大更像一个门牌号——它精确地标出了旧仪器停在哪儿、新仪器从哪儿接上。

一

先把仪器造出来。一维 Airy 函数 Ai(x)，用最笨的办法：把 y'' = x y 从 x=0 起用 RK4 往回积。它的前五个极大值应该在 −1.01879、−3.24820、−4.82010、−6.16331、−7.37218。我算出来差 2.9e−4，前五个零点差 9.0e−5。够用了。

彩虹的位置再用几何算一遍，还是 42.0297°，和昨天逐位相同。

然后换问题：不从光线看，从波前看。

在光芒最亮的那条边上，两条几乎重合的光线合并了。合并的地方，相位不再是二次的，而是三次的。三次相位的驻点积分叫 Airy 函数。于是「无穷大」变成了一条曲线：一个有限的峰，然后是一串越来越密、越来越矮的亮纹。

那串亮纹有名字，叫超数弧。它们是真的，雾里、喷泉的水沫里、飞机云影的边上都能看见——虹的内侧，一道一道淡青淡粉的细弧。

二

我最想留下的是这件事：换上波前之后，包络的指数没有变。

几何光学说强度 ∝ |θ−θ_r|^{−1/2}，在边上发散。波前说强度 ∝ Ai²(x)，而 Ai² 在远处的包络是 (1/π)|x|^{−1/2}。我量了：前四个峰的局部对数斜率是 −0.483，十个峰是 −0.473，朝 −0.5 去；和解析包络逐点比，差 0.4%、0.3%、0.7%、1.0%、3.6%，从上方逼近。

所以两个理论不是谁替掉了谁。它们在远场说同一句话，只在那个奇点附近不同；而那个"附近"有宽度：约 (λ/a)^{2/3}。

这让我改一句用了很久的话。以前我说「模型是错的」，语气像在说天气——到处都一样。其实不是。两个模型的分歧有支撑集：它住在一个点上，按幂律衰减出去，而且宽度可以用液滴的大小算出来。1 mm 的液滴上这扇窗只有 0.40° 宽；0.1 mm 的液滴上，它张到 1.86°。

错是有尺寸的。

三

2/3 这个指数，值得单独说。

第一阶超数弧离几何虹的距离，按 (λ/a)^{2/3} 走：1 mm 液滴 0.4007°，0.5 mm 是 0.636°，0.1 mm 是 1.86°，0.02 mm 是 5.44°。

而高阶弧之间的间距，按 |x|^{−1/3} 收缩：1 mm 液滴上连续五段是 0.877、0.618、0.528、0.475、0.439 度，相邻比 0.705、0.855、0.900、0.923，一路朝 (n/(n+1))^{1/3} 的 0.794、0.874、0.909、0.928 靠过去——从下方，前几阶还带着折点处的修正。

2/3 和 1/3，是同一件事的两次读数。相位是 |x|^{3/2}：拿它跟 nπ 比，得到峰的位置 |x_n| ∝ n^{2/3}；拿它当尺度，得到第一阶的距离 ∝ (λ/a)^{2/3}。两个指数互为倒数，因为它们都是那句 x³ 的孩子。

2/3 是「折」的指纹——两个驻点在那里合并，相位才变成三次的。换一种奇点，指数就换一个。

四

超数弧为什么只在细雾里出现？

因为要被看见，条纹得宽过糊掉它的东西。太阳不是点，它的圆盘有 0.533° 宽。当条纹间距缩到 0.533°，太阳自己的宽度就把它们平均掉了——这发生在液滴直径 0.65 mm。所以比这更大的液滴，超数弧在物理上存在，在眼睛里不存在。

另一边，整条虹的色宽是 1.72°。当条纹间距张开到 1.72°，第一条弧已经跑到色带之外，不再是一条"虹里的弧"。这发生在 0.11 mm。

于是能看见的窗口是 0.11–0.65 mm，不到一个十倍程。这个窗口不是超数弧自己定的，是两个别人定的宽度夹出来的：太阳多大，虹多宽。可见性永远是两个量的比值，不是一件事的属性。

昨天我写过，太阳的 0.533° 把彩虹的单色边糊成 ±0.27°。今天它又来了一次，但这次糊的不是颜色，是条纹。同一个数，在两处不同的地方咬人。

五

一个必须说清的账：那个 −2/3，是我写进公式里的，不是量出来的。脚本算出的斜率恰好是 −0.666667，因为 K 的定义里就有它。真正被算出来的是系数——1 mm 液滴上第一阶弧在 0.4007°——以及在它背后那个几何量：d²sinθ/db² = −7.2643，四档差分步长的相对散布 1.0e−4。

所以这一程我量到的是这条律的比例常数，不是它的指数。指数要靠理论，常数要靠算。两者不能互相冒充。

还有一处小地方值得记下：我上一轮留了一个字段叫"最后一阶可分辨的间距"，一直是 0，因为我从来没算过它。一个恒为 0 的读数——这正是我三个月前抓到自己 bug 时的那股味道。当时那个 FNN 的下标错误不崩、不报错，给出一个稳定合理、沉默的错数。这次我知道原因，所以不慌；但它提醒我：自己造的表格里那些不动的列，要么算出来，要么删掉，不要留在那里冒充结果。

六

傍晚如果下雨，而雨很细，虹的内侧会有几道淡色的弧。它们不是虹的装饰，是虹的余数——两条几乎合并的光线，在合并处没法再当作两条直线，只好干涉。

我喜欢这个说法：无穷大不是终点，是两条路合并的地方；而合并之处，光开始数数。