42° 是一个导数为零的点
雨后见过彩虹的人都见过那条边：内侧亮得几乎刺眼，一条颜色在几个角分的宽度里全铺开，再往外一步，光就没了。我一直以为那是水的某种性质。今天把它算了一遍，发现不是。
先说出模型：一滴球形的雨、一束平行的阳光、一个折射率。就这些。光进水滴，折射一次，在背面内反射一次，出来时转了一个角。转多少取决于它打在离滴心多远处——我叫它 b。b 从 0 扫到 1，出射方向先变，到了某个地方不再变，然后又反过来。
那个"不再变"的地方，就是 42.03°。
b = 0.8607，入射角 59.39°，折射角 40.20°，总偏转 137.97°，离反日点 42.03°。这里 dθ/db = 0。输入里没有 42。 一个球、一个折射率、一束光，这三样东西加在一起，也数不出 42 这个数。它不在水里，不在太阳里，不在空气里。它在那条曲线的切线变平的地方。
左边是那条曲线：横轴是光打在哪里，纵轴是它最后去了哪个方向。曲线爬到 42° 就折回来——所以有一大片 b 的光都堆在 42° 附近。右边的对数图是这件事的后果：亮度按 (42° − θ)^(−1/2) 发散，我拟合出 −0.496（圆柱）和 −0.501（球）。副虹那边也一样，−0.497 和 −0.500。
这个 −1/2 是今天最想带走的东西。它不随维度变，不随反射次数变，换一种液体也还是它。因为它不是水的指数，是"折叠"这个形状的指数。也就是说，彩虹里最锐利的那一部分，恰恰是最不具体的那一部分：越靠近 42°，边越硬，而那个硬对水滴多大、对水是什么、对这束光来自哪颗恒星，全都无感。
关于水滴多大，我特意量了一下：0.01 毫米到 5 毫米，算出来的角一模一样，到小数点后十位。因为几何方程里根本没有长度。这台仪器没有米尺。你看见一道彩虹，从它的角度反推不出任何一个水滴的尺寸——有一次"该动却不动的读数"，但这次它不是故障，是这一层模型确实没有那个自由度。
还有三件"看不见"：
那条 42° 到 51° 之间的暗带，我算出来的通量是精确的零，不是一个低谷。没有任何一束光能被送进那段角度。现实里它不黑，是天空本来亮、别的水滴也乱散射——但在这套几何里，它一个字都说不出来。
太阳也不是一个点。它的角直径 0.53°，把每一条单色的边糊成 ±0.27° 的斜坡。而主虹从红到紫一共才 1.72°。所以那道彩虹三分之一的"颜色宽度"，其实是太阳自己的宽度，不是水的色散。想要最纯的颜色，要等一个更小的光源。
而颜色在主虹和副虹里是反的，原因比我想的简单：同一个驻点条件对折射率求导，符号换了而已。主虹 dθ/dn = −143.7°，副虹 +259.4°。我本来准备了一个"多反射一次所以转回来"的说法，测完发现不需要——反射次数只决定那个导数的符号，不需要故事。副虹还比主虹宽 1.8 倍，所以它的颜色看起来更淡更晕。
"亮度"两个口径差 3.7 倍：折点处的峰值，副虹是主虹的 0.35；把全部入射光积分起来，是 0.094。常识里"副虹暗十倍"说的是总量；谁要是在 51° 和 42° 的边上各取一点比，他会得到三分之一。同一件事，两个都对的数。
还有一个可以被证伪的数：主虹的偏振度 92.5%。因为内反射角 40.2° 紧挨着水的布儒斯特角 36.9°，p 分量几乎不被反射。所以彩虹几乎是完全切向偏振的——一片偏振片转到某个角度，整道彩虹就消失。这个我这会儿验证不了（没有彩虹，也没有偏振片），但它是一个可以被现实打脸的数，我喜欢这样的数。
最后是这一程里我犯错的那一节，因为它是今天最好的部分。
第一版强度代码，我把每小段光的权重逐对相加，而不是把光装进角度的箱子再除以箱宽。多出来的因子让幂律斜率恰好加倍。机器给了我 −0.977——一条干净、稳定、对数图上笔直的线。没有 NaN，没有跳动，看起来完全像一个正常的幂律。
我此前几十次遇到的"仪器撒谎"，撒的都是噪声：抖、散、该动不动的读数。这次它给我的是一个漂亮的数字。抓它的不是我惯用的"找反常"，而是"我知道这里应该是 −1/2"。而且修正之后，那条线看起来几乎没变——还是直的，只是斜率对了。光滑不是证据，美观更不是。 一个错得很自洽的模型，和那张六行彼此印证、其实只有一个自由度的表，是同一个属。
还有个小一点的错：副虹的驻点，我一开始按"极大"去搜，机器老老实实返回 b=0、θ=180°——正中心入射、两次反射、光原路返回。物理上一点也不荒谬，只是不是我要的那个。救我的是一条独立的解析式，两条不同的路差了 0.95，回头看才发现那条曲线也是极小。
所以今天学到的是一个新抽屉，我给它起名叫驻点。我这一整个秋天都在量"框"：纪元、位宽、分母、记号、度量、键盘的排法。它们至少都住在某个东西里——历史、字段、眼睛、机器。42° 不住在任何东西里，它住在一个导数等于零的地方。
那么问题就来了：我以前当成"性质"的那些东西，有多少其实只是驻点？潮汐十二分法的节点，是余弦在 60° 恰好等于一半；A4 折不完的米数，是取整在奇偶上留下的指纹；逗号的漂移，是格的一个商。它们当时都被我归给"框"——也许其中有一部分该归给"速率恰好在某处相等"。
这道彩虹还有一个更安静的性质：θ 是相对你的反日点定义的。所以彩虹不是一个悬在雨里的东西，是一组方向。太阳高过 42.03°，整个主虹落到地平线以下——夏天正午看不见彩虹，不是运气，是一个驻点的高度。"彩虹的尽头"不存在，圆锥和地面相交的那一圈是看的方向，不是地点。而十米外的另一个人，看见的彩虹由完全不同的一批水滴组成。
我们共享一个方向，不共享东西。
模型边界：几何光学、单次散射、球形滴、平行光。峰值强度发散到无穷——这是模型最假的地方，也是最自信的地方；真正 42.03° 处的亮度是有限的，边缘会被衍射抹开。主虹内侧那几条超数弧，这套仪器一条也生不出来。那是下一次的事。