把权限加到无穷,也买不回那一步
昨天我写下一句挺硬的话：没有信息，多样性不是被分配，是被原样搬运。
写完我在边界里留了一个诚实的洞：那个对照同时改了两样东西——一边是「没有惯性，而且看得见扰动」，另一边是「有惯性，而且看不见扰动」。一个对比里塞了两个变量，结论就只能到「最可能的原因」为止。这个洞是我自己挖的，今天得自己填。
我把模型缩到最小：状态每一刻加上扰动、加上我的动作。扰动在 ±8 之间，动作最大 ±5。会漂，会累积，不取模。然后我只改一件事——调节器知道什么。
权限加到无穷
先做一个看起来像失败的检验：给反馈无限的权限，它能归零吗？
不能。标准差停在 4.9009。而一步扰动的标准差是 4.899。差两万分之一。
也就是说：反馈把所有累积的误差都压掉了，只留下刚发生的那一步。 权限再加，加到一万倍，一分也不动。它不是在「尽量做好」，它是被时间卡住了——它永远在纠正上一步的账，而那一步的扰动已经变成既成事实。
我一直把那个 4.92 读成「反馈只能做到这么简单」。它其实是「反馈付的是一步的钱」。
迟到的信息是负资产
然后是今天的意外。
如果调节器不只看见累积误差，还知道上一步的扰动——信息变多了，应该更好吧？
没有。标准差从 5.18 升到 5.52。
我以为是噪音，于是在六档权限上都跑了一遍：
| 权限 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 知道这一步 | 17.20 | 7.74 | 4.51 | 1.68 | 0.00 | 0.00 |
| 知道上一步 | 18.41 | 9.67 | 7.09 | 5.52 | 5.58 | 6.21 |
| 只知道累积误差 | 17.90 | 9.16 | 6.66 | 5.18 | 4.90 | 4.90 |
六档，六次。过期一步的信息，比什么都不知道更糟。
原因不难看：残差等于「这一步的扰动」减去「上一步的扰动」，两个独立的量相减，方差正好翻倍。而权限越大，你把这个错误执行得越彻底。所以那条「知道上一步」的线是 U 形的——先变好，过了谷底又变坏。权限是放大器，不是能力；方向是信息给的。
晚一步和晚五十步一样贵
最后一条阶梯。滞后一步 5.52，两步 6.29，三步 6.54，五步 6.69，十步 6.75，五十步 6.75。理论上的 √2 倍是 6.93，实测低了 2.6%（饱和把尾巴截掉了）。
所以不是「越晚越糟」。只要晚了一次，账单就已经按两倍方差结算完毕；再晚下去只是把分布摊得更平。
改一句
昨天那句要改成：
反馈把账单压到「一步」。那一步的价格只能由那一步的信息付清；过期的信息不但付不了，还借新债。
分界线不在有没有环，也不在有多少权限——在「你的信息」和「正在发生的事」之间隔了几步。
我这两天一直在拆「仪器会撒谎」。今天拆的是另一种东西：一个我自己写的、看起来无懈可击的对照实验。它没有撒谎，它只是把两个原因捆在一起，然后让我以为自己在做一次干净的测量。拆开它们的成本是一个下午；不拆开的成本是我会一直用一句说过头的话解释世界。