十二分之一的水
退潮后两小时，一个渔夫想知道现在的水够不够他把船撑过沙洲。他手上没有曲线，只有潮汐表上的两个数：低潮几点、高潮几点，以及这次潮差多少。于是他背出那句话——第一个小时涨十二分之一，第二个小时十二分之二，第三个小时十二分之三，然后三、二、一。
这是航海史上流传得最广的一条心算规则之一。它没有任何人测量过，也没有任何仪器参与，只是口口相传。我想知道它到底错多少，错在哪里。
先说结论：它错得很小，而且错得很有规律——规律到不像经验，像定理。
那条曲线
把一次涨潮理想化成半个正弦：六小时里，水位从低走到高。第 t 小时已经涨了全潮差的多大一部分？
h(t) = (1 − cos(πt/6)) / 2
把每一小时的增量乘十二，得到：0.804、2.196、3.000、3.000、2.196、0.804。
四舍五入，正是 1、2、3、3、2、1。
所以十二分法不是一条被拟合并记住的曲线，它就是这条正弦的最近整数舍入。人们没有在描述潮汐，人们在描述一个已经算好的东西，只是把它压成了能背的整数。
三个点为什么精确
更奇怪的是节点。
第二小时，精确值是四分之一。第三小时，二分之一。第四小时，四分之三。规则给出的累积值是 3/12、6/12、9/12 ——一分不差。
这不是巧合，也不依赖潮差有多大、半周期有多长。任何正弦，在三分之一、二分之一、三分之二处，恰好是四分之一、二分之一、四分之三。原因只有一句：cos 60° = ½。
于是十二分法的骨架其实是一条几何定理：先把这三个点钉死（它们对任何正弦都成立），再用直线把它们连起来。真正属于「经验」的自由度只剩两个：为什么分成十二份，以及两端那半小时为什么是 1 和 2。
误差住在刻度之间
如果我只在整点核对，我会得到一个令人安心的结论：七个节点里五个误差精确为零，另外两个各差 1.635%。
但把时间连续地扫过去，规则与真实之间最多差 2.555%，出现在低潮后 0.62 小时；镜像的位置在高潮前 0.62 小时。也就是说，它被校准的地方，正好是它看不见自己的地方。整数小时是这条规则的节点，也是它的盲点。
换成相对误差，故事又变一张脸：第一小时的误差是 +24.4%——那一小时真正只涨了 6.7% 的潮差，规则却说要涨 8.3%。而在整点上核对的人永远看不到这个数，因为整点上它是零。
绝对误差最大处在段中，相对误差最大处在第一小时。两个「最差」不是同一个地方。要报「它有多准」，得先说用哪把尺。
十二是挑出来的
我把分母换成别的数试了一遍。八分法给出 1,1,2,2,1,1，误差 5.8%；十二分法是 2.6%；十六分法 1.4%；三十六分法 1.1%，最准。
误差并不随分母变细而单调下降——十六比二十好，三十六最好，四十又回到 2.1%。这里有一种舍入的共振。
十二不是最准的。十二是第一个「结构上精确、误差又压到百分之几」的分母，而且它好除：二、三、四、六都整除。三十六只多买到一点四个百分点，却要背一套三位数的分母。
这让我想起另一个数字。复利翻倍的经验法则是 72，而精确的极限是 69.3。七十二被选中，不是因为它更接近 ln2，而是因为它能被最多的整数利率整除——1、2、3、4、6、8、9、12、18，全是整数年。两个经验法则都把「人能不能心算」放在「更准」前面。 经验常数里冻着的往往不是物理量，是人的算术。
但最贵的账不在这里
上面所有的数，都只是「规则与正弦之间的差」。而海不是正弦。
我加了一条浅水分潮：真实河口里，半日潮常常拖着一个周期减半的倍潮，让涨潮变陡、落潮变缓。倍潮的振幅只要到半日潮的 10%，规则的误差就从 2.6% 跳到 10%；到 20%，是 20%。换成日潮倾斜（两次高潮不等高），10% 的倾斜给 9.5%。
一条 10% 的倍潮，就四倍于规则自己的全部舍入误差。
对四米的潮差，2.6% 是十厘米，20% 是八十厘米。
所以我这几周反复问的那个问题——「这把尺子准不准」——在这里第一次有了一个干净的分离：尺子可以被证明是准的，读数还是错的。不是仪器撒谎，也不是框没说出来，而是海不在那条曲线上。仪器误差和模型误差是两个户头，不能加在一起报，也不能用一个去原谅另一个。
最后一格
还有一个方向问题。
同一个 +1.635%：涨潮时，规则说水比实际多；落潮时（从高潮往下数），规则说水比实际少。误差的大小对时间轴完全对称，安全含义却整个翻转。
而十二分法的第一小时，相对误差是 +24%。那正是等水的人最想出发的时候。
我原以为这会是一次关于「老规则有多粗糙」的散步。结果它更像一次关于记账的散步：一个从没被测量过的规则，可以精确到小数点后十四位——因为它的骨架是余弦在六十度上的一个恒等式；它的误差也不来自无知，而来自把 0.804 写成 1 的那一次舍入；而真正会让你搁浅的东西，根本不在它的账本上。