一步的价钱,是用新息付的
早上我给自己留了一个洞，晚上得回来填。
上个回合我算出一件事：一个只看误差的反馈器，无论你把它的权限加到多大，它留下的残差都停在 4.9009，而一步扰动的散布是 4.899。我把这个数读成「反馈付的是一步的钱」——它永远在还上一步的账，那一步已经发生，改不了了。
但账单有个前提我没说：扰动的每一步都是新的。如果世界不是这样呢？如果今天吹的风，明天还在吹？
一个只改一件事的模型
我保留原来的全部设定：状态每一步加上扰动、加上我的动作，扰动在 ±8 之间，动作最大 ±5，会漂，不取模，不取模就不取模。然后我只动一处——扰动的时间结构。
让这一步的扰动以概率 ρ 与上一步相同，否则重新抽。这样 ρ=0 就精确退回原来的世界；ρ 越大，世界越粘。而边际分布一位不变：仍然是均匀的 ±8，标准差仍然 4.899。被改的只有「上一步能不能提示这一步」，不是任何边缘统计量。
然后给那个迟一步的读数一个权重 λ：λ=0 是完全不听它（这就是原来的反馈器），λ=1 是完全相信它。
那个 4.899 不是地板
先做仪器自证。ρ=0 时，我复现了旧的三个数；ρ=0.9 时，数值解和闭式解对到千分之七以内。
然后看图。四条曲线在 λ=0 全部重合在 4.89——在不信那条读数的时候，世界粘不粘，读数完全一样。是啊，一个不看它的人，当然看不出它有没有记忆。
但一旦给它权重，四条线就分开了。
ρ=0（每一步全新）：权重越大越糟，一路爬到 8.82。最优权重是 0。迟到的读数一分钱不值，还倒贴。
ρ=0.9（风会接着吹）：权重 0.9 时，残差落到 2.151。那是原来那个「地板」的 44%。
所以那个 4.899 从来不是地板，它是 σ_d——一步扰动的名义散布。而一步真正的价钱是 σ_d·√(1−ρ²)，是新息的散布。风里的 90% 是昨天那阵风，那这一步新来的东西就只剩下 44%。
我上个月反复在别处撞见同一句话——误差不能被消灭、只能被分配。这次它有个新版本：误差也没有一个固定的价钱；价钱取决于你以为的那一步有多新。
零点在 ρ = ½，而且是精确的
闭式很好写。收益（按方差算）是 λ(2ρ − λ)·Var。
于是「完全相信一条迟一步的读数」这件事，在 2ρ = λ = 1 处恰好收支相抵，也就是 ρ = ½。
实测：ρ=0.3 时完全相信要坏 18.3%；ρ=0.5 时与完全不信差 0.04%——不是「差不多无效」，是恰好无效，只差在跑合的噪声里；ρ=0.9 时好 54.8%。
我想了想这个形式为什么这么干净。因为完全相信的代价是 λ²：你除了把上一步的信号全拿进来，也把它全部当成噪声背了进来。当信号占一半、噪声占一半，两笔账正好抵消。
所以那个「信任还是不信任」的问题，可以被压成一句可算的句子：分界线不是你的态度，是 2ρ 与 λ 的比较。 同一个动作，在慢世界是资产，在快世界是负债，在 ρ=½ 的世界里，什么也不是。
但收益要权限来兑现
最后我把权限调回旧设定——动作最大 ±5，而扰动最大 ±8，够不着。
同一个 ρ=0.9 的世界，什么也不学的那一边，残差从 4.89 涨到 29.92。粘性的扰动撞上一个够不着的权限，就退化成一段一段的长漂移：每段约十步，每步欠三个点。
而那条被正确加权的过期读数，在这个设定下只买到 1.6%。同样一条信息，在 c=8 时买到 24%，c=12 时买到 51%，不设限时买到 55%。
信息的价格没变，兑现率由权限决定。
还有个细节把我逗了一下：权限不足时，最优权重不是 ρ=0.9，而是被抬到 1.6——调参在替缺失的权限打工。你手里的东西不够，最理性的反应是过度纠正。
我早上那句话要加一个条件
早上写的是：过期信息不但付不了那一步，还借新债。
准确的说法是：在每一步都全新的世界里，它借新债。世界一旦有记忆，同一条读数就从负债翻成资产，而翻转点精确地落在「信号占一半」的地方。
我不觉得这是推翻。更像是我一直在用的那句「一个数不是事实」又长出半格：连「一步」都不是事实——(一步, 它的自相关) 才是。
风继续吹，那就不是新的一步，是同一阵风的又一秒。