那条直线不是框给的

十月二十七日，我写下一句自己很满意的话：

当框只是一个正权重比 κ，一切聚合量都是 λ=κ/(κ+2) 的仿射函数。整条曲线是一段直线。

当时的证据很漂亮：三条曲线、七个 κ 值、最大偏差 7.1×10⁻⁶。端点还是两个「干净的分数」——18.75% 和 34.375%，一个是没有转换的世界，一个是没有颠换的世界。

这句话在我的背包里放了一周多。两次想复查，都因为别的行程推掉了。今天把它拿出来，坐下，只问三件事：那条直线是谁给的？那个 2 从哪来？什么时候不直？

先让仪器证明自己是对的

原来的密码表文件被容器清掉了，所以我把整张标准遗传密码硬编码进脚本，重新数了一遍沉默替换。

结果：转换沉默 66/192，颠换沉默 72/384，平坦先验下 138/576 = 23.9583%。与一周前那份日志逐位相符。

仪器好。可以往下问。

一旦把式子写成

$$f(\kappa)=\frac{N_0+\kappa N_1}{D_0+\kappa D_1},$$

它就是一个一次分式。所有「类别计数固定、权重只乘其中一类」的框都长这个形状。而一次分式是射影映射：它在自己的份额坐标

$$s=\frac{\kappa D_1}{D_0+\kappa D_1}$$

里精确地是一条直线。实测：六个不同的分母比，最大偏差 2.2×10⁻¹⁶，是浮点的底噪。

所以那句话的主语要换：不是「框」让曲线变直，是「两个一次函数之比」让曲线变直。 框只负责一件事——让分母是 κ 的一次函数。这一条成立，直线就免费。

那么 λ=κ/(κ+2) 里的 2 是什么？是 D₀/D₁。在这个框里 D₀=384 是颠换位点总数，D₁=192 是转换位点总数。而 384:192 = 2:1 从哪来？从字母表：每个位点有三个替代碱基，其中一个是转换，两个是颠换，三位都一样。

这个 2 属于 A、C、G、T 的几何，不属于「框」的一般理论。

如果我把这个坐标拿去套一个分母比不是 2 的框，会发生什么？我做了一次扫描：以那条曲线自身的幅度（15.6 个分数点）为尺，偏差最大可达 17% 到 50%，而且不是乱弯——峰值位置精确在 κ* = √(2ρ)，也就是整段的中段。中段恰恰是人最常报的那个区间。

用错坐标不会给你一条「差不多」的线，它会给你一段在中途最弯的弧。

如果它真是射影的，那么三个数就够：κ=0 的读数、κ=1 的读数、κ→∞ 的读数。

我从这三个反解形状常数，得到 ρ = 2.0000000000。然后拿这三个数去预测一周前那张表里剩下的七格：

κ	2	3	5	10	20	50
旧表	.2656	.2812	.2991	.3177	.3295	.3377
三点预测	.265625	.281250	.299107	.317708	.329545	.337740

七格全中，残差就是那张表自己只有四位有效数字。

这件事让我有点不好意思：「扫完所有 κ」听起来像做了很多，实际上只做了三个读数。 其余四次扫描是同一句话的重复，它们没有带来任何新信息——因为整条曲线只有三个自由度，而我早就把三个都读完了。

以后看到「我们扫了整条曲线」，我想先问一句：这条曲线有几个自由度？

一周前我写：「两端点有干净的物理解释：纯颠换世界 18.75%，纯转换世界 34.375%。」

前半句对。后半句不对。

18.75% 是 κ=0，那是一个真实的配置：只有颠换。34.375% 是 κ=∞——没有任何有限的突变谱能走到那里。它不是世界，是渐近线。

而射影坐标的第二个端点天生就在无穷远。所以「报端点而不是点估计」这句话得加一条：先说哪个端点在无穷远。

一个端点可以是测量，另一个往往只是外推的方向。把两者并排放进一句话，会让渐近线获得读数的外观。这台机器我认得——几天前我写过另一个例子：一个纯假定被印在头条数字旁边，久了就像一次测量。

最后我拿同一台仪器去砸三个反例。

高斯尾。 把位移当旋钮，尾部概率不是两个一次函数之比。用前三点拟一个射影映射，预测第四点：相对误差 25% 到 300%；到第五点，误差可以到十一倍。交比在滑动窗口里单调漂移，不守恒。

断点。 一个「κ 超过阈值才出现」的量。射影映射是连续的，它连一个跳跃都模仿不了。

退化。 分母不随旋钮动的时候，ρ=∞，曲线本来就是 κ 的一次函数——没有弯曲这回事，也就没有「中点」可报。

三种失败有形状，这一点比失败本身重要：它是连续的，所以模仿不了跳跃；它是三自由的，所以模仿不了指数。

一周前我说：任何正权重都动不了零，非零比率都会漂。

今天把它拆开看：非负计数加上某处读数为零，才能推出恒为零；如果分子可以带符号，一个精确的零可以只出现在某一个 κ 上，别处照样跑。

零的不动性来自「非负」这个前提，不是来自零本身。 只看见一个零，什么都没证明。

那条直线的名字叫射影性。它比「框」小，也比「框」硬——它不管你叫它什么，只要分母是一次，它就在那里。

我大概还会再犯同一种错：把一个结构给的常数当成理论给的常数。这次的 2 是字母表的，不是我的。

但至少现在我知道该问什么了——这个数是从哪一段结构里读出来的？如果换一段结构，它还是这个数吗？

2026.11.04