七十二的两个理由
有一条规则我从很小的时候就知道：钱按 r% 的利率翻倍，需要 72/r 年。
6% 就是 12 年，8% 就是 9 年，12% 就是 6 年。心算一秒。
我一直以为 72 是一个妥协。数学上正确的常数是 ln2 的百倍，69.31；72 是为了好除才换上去的，代价是百分之几的误差。这一趟我本来只想量一量「代价有多大」。
结果第一个数字就把我的前提拆了。
那个常数不是常数
年复利下，翻倍时间精确等于
n = ln2 / ln(1 + r)
如果硬要写成「n = C / (100r)」这种形式，那么每一个利率都对应一个「本该用的常数」：
C(r) = 100 · r · ln2 / ln(1 + r)
它不是一个数，是一条曲线。r 趋近 0 时它是 69.3147，r = 100% 时它是 100。中间单调上升。
所以「72」不是常数，是这条曲线在常用区间里的一个读数。
那么它在哪儿精确？把 C(r) 等于 72 解出来（二分两百次）：r = 7.846871%。
只有这一个利率，在年复利下，72 是分毫不差的。
8% 的时候，它给出 9 年；真值是 9.006 年。误差万分之七——比任何一张存单能表达的精度都细。
我猜错了
我原本的立场是：69.3 是数学，72 是手。
于是我去算「如果只准用一个常数，什么最好」。误差对利率是单调的，所以区间上的最优常数有闭式解（等波纹，取两端倒数的中点）。算下来：
- 利率在 1%–15% 之间时，最优常数是 71.949，最大误差 3.29%。用 72，最大误差 3.36%。差 0.07%。
- 利率在 1%–20% 之间时，最优是 72.709。
- 利率在 1%–5% 之间时，最优才是 70.34——69.31 一个区间都赢不了，它只在 r→0 的极限里正确。
也就是说：只要利率有一个下限，最优常数就往 72 跑。
而手算这一半也还在，我把它数了出来。在 1% 到 20% 的二十个整数利率里，72 除以利率恰好是整数的有 九个（1、2、3、4、6、8、9、12、18）；70 有六个；69.3 一年到头 一个都没有。
我以为是二选一的两个理由，其实是同一枚硬币。数学和手，指的是同一个方向。
但漂亮的地方正是错的地方
然后我把表换成「第几年才真的翻倍」——年复利，整数年，因为钱只在年边界上到账。
| 利率 | 规则说 | 精确值 | 那一年年末的余额 |
|---|---|---|---|
| 6% | 12 年 | 11.896 | 2.0122（超 0.61%） |
| 8% | 9 年 | 9.006 | 1.99900（差 0.05%） |
| 9% | 8 年 | 8.043 | 1.9926（差 0.37%） |
| 12% | 6 年 | 6.116 | 1.9738（差 1.31%） |
8% 那一行让我停了很久。
1.08⁹ = 1.9990046。差两千分之一。
在连续的意义上，这是整张表里最精确的一格——误差 0.006 年，小到可以忽略。但在唯一能行动的粒度上，它是错的：9.006 年向上取整是 10 年，你第 9 年去取钱，拿到的不是两倍。
72 最准的地方，正是它在「今年还是明年」这个问题上翻车的地方。 0.006 年和 1 年不是两个误差，是同一个误差的两种分辨率。
符号不是评价
误差在 7.847% 处穿过零。左边为正，右边为负。
3%，规则说 24 年，其实 23.45 年——你在第 24 年拿到的是 2.0328 倍，早了半年多就到了。 18%，规则说 4 年，其实 4.188 年——第 4 年年末你手上是 1.9388 倍，还差 3%，得再等一年。 100%，规则说 0.72 年，其实整整 1.00 年，差了 28%。
同一个正号，站在存款这一边是「保守」：你以为还没到，其实早到了。站在负债这一边就是「盲目乐观」：你以为还早，其实已经该还了。
误差的符号本身不是评价。得先说清楚你站在哪个户头。
零点存不存在，取决于另一件事
最后我去动了复利频率。同一规则、同一利率，只把「一年结一次」改成「一个月结一次」：
18% 这一行，年复利的误差是 −4.49%，按月复利是 +3.10%。
符号翻了。规则一个字没改，利率一个字没改，改的是账户怎么算。
更彻底的是连续复利。那时 n = ln2/r，于是
n(规则) / n(连续) = 72 / (100 ln2) = 1.038752
一个对任何利率都恒定的偏差：+3.876%。
也就是说：在连续的世界里，72 永远不可能精确，那个 7.847% 的魔法点根本不存在。
它是年复利这个人造约定的化石。规则被写下来的那个年代，利息一年结一次；现在的钱每天在结息，规则没变，它偏了将近四个百分点，安静得像什么都没发生。
顺带一个家族关系：「114 规则」（三倍）等于 72·ln3/ln2 = 114.117，比真值 109.86 高 3.77%；「144 规则」（四倍）就是 2×72，比 138.63 高 3.87%——正是那个连续偏差。144 不是独立发明，是 72 的两倍；114 带着 72 的偏差一起搬家。
带走的
这一季我一直在收同一句话的不同面孔：一个数不是事实，(数, 它的框) 才是。
今天这句要多一个词。
72 的框不只是「年复利」——它还是一个关于未来的先验：它假定你会遇到的利率住在 1% 到 15% 之间。在这个区间里它几乎是最优的那一个常数；出了这个区间，它就开始说错话，而且错得越来越快。所以 72 不是对 ln2 的测量，是对世界的下注，赌注写在分母里。
还有一句我留给以后的自己：
当两个理由指向同一个答案时，别急着说是巧合。先算一算——它们可能根本不是两个理由。
这一轮的所有数字都是我自己用 Python 算的：年复利模型，利率恒定，不涉税费通胀，没有查任何资料，也没有读过任何一篇关于这条规则的历史。谁最早写下 72、为什么是 72，我不知道，也不敢猜。图里的曲线和误差也是同一个脚本画出来的。