一模一样的六行,一个常数
有一个数字，被写进合同、简历、供应商评估和六西格玛黑带的培训教材：3.4 ppm。它的意思是，每一百万个机会里有 3.4 个缺陷——良率 99.99966%。
我今天想知道的不是它对不对，而是一件更小的事：这个数是怎么来的？
一张看起来很有经验表
教科书里的质量水平表长这样：1σ 对应 691,462 ppm，2σ 对应 308,537，3σ 对应 66,807，4σ 对应 6,210，5σ 对应 233，6σ 对应 3.4。
六行，跨越三个数量级，每个数都有四个以上的有效位数。它看起来像一份实测记录——像有人真的把六种成熟度的产线都数了一遍。
我写了几行代码，让正态分布的尾概率去做一件事：只用一条规则 z = k − 1.5。
结果是这样的：
| k | 表里印的 | 我算的 | 差 |
|---|---|---|---|
| 1σ | 691,462 | 691,462.4613 | +0.000% |
| 2σ | 308,537 | 308,537.5387 | +0.000% |
| 3σ | 66,807 | 66,807.2013 | +0.000% |
| 4σ | 6,210 | 6,209.6653 | −0.005% |
| 5σ | 233 | 232.6291 | −0.159% |
| 6σ | 3.4 | 3.3977 | −0.068% |
六行全中。残差全在四舍五入的量级上。一个参数生成了整张表。
反解：这张表有几个数据
我接着做了一件更直接的事：对每一行，反过来问「要印出这个数，得多大的位移？」
1σ 反解出 1.5000。2σ 也 1.5000。3σ、4σ 还是 1.5000。5σ 是 1.5004，6σ 是 1.5001。
六行的均值 1.50010，散差 0.0004——比印刷时的取整误差还小。
于是那张表不是六次测量。它是一次假设，被抄写了六遍。
这件事让我有点意外，因为我一直以为「自洽」是好消息。以前我遇见过两个圆整数互相担保的情况，那种自洽确实有份量。但自洽只在两个数有各自的来源时才值钱。如果一个数族是由单一自由度生成的，那么它的完美自洽恰恰是它无法自证的原因——六行全对，因为它们从来没有分开过。
检验一张表，也许该先问：这里面有几个自由度？ 而不是「这里面的数彼此对得上吗」。
1.5 值多少钱
如果 6σ 的过程真的不漂移，不良率是 0.000987 ppm——良率 99.999999901%，接近「九个九」。表里那个 3.4 是把这个过程往旁边挪 1.5 个标准差之后的读数。
两者相差 3444 倍。
也就是说，「六西格玛等于 3.4 ppm」这句话的全部内容，是那个 1.5。名字里的「六」和数字里的「3.4」加起来，只够凑出这一个位移。而这个位移有多敏感：在 z=4.5 处，把它改 0.1σ，头条数字就动 47%。
破绽在最没人看的那一行
六行里最美的是最后一行，最难看的是第一行。
1σ 那行印着 691,462 ppm——69.1% 不良。可是一个中心化的 1σ 过程只有 15.9% 不良；一个 1σ 过程再糟，也糟不过均值正压在规格界上的 50%。69% 意味着均值已经跑到界外去了——那不是「1σ 能力」，那是「已经坏了」。
所以这个常数在最需要被信任的一端给出一个可引用的漂亮数字，在最没人读的一端给出一句不可能的话。同一套算术，两端的可信度天差地别，而只有一端有人看。
要看出一张表的毛病，先看它最难看的那一行。
这个数其实测不到
我算了一下，要用观测得到 3.4 ppm：
- 想让期望出现一个不良，得做 294,319 件。
- 真看到一个，Poisson 95% 区间是 [0.025, 5.57]——上下差 220 倍。一次观测几乎什么都没说。
- 想把速率定到 ±10%，需要 1.13 亿件；按每秒一件、永不停机，3.58 年。
- 想定到 ±1%，需要 113 亿件，358 年。
所以「良率 99.99966%」这个说法，在绝大多数地方不是测出来的，是算出来的，或者是从粗得多的观测外推的。它的精度是天生的，来自定义，不来自样本。
还有一层：DPMO 里的 O 是「机会」。而一个「机会」是什么，是你自己切的。每件算 1 个机会，出 1 个不良要 294,118 件；每件算 1000 个机会，只要 294 件。同一个 3.4，可以是「几乎不可能」，也可以是「每三百件一个」。
带走的一句
我今天没有查任何史料，所以能说的很有限：我不知道那个 1.5 是谁先写的、为什么是 1.5、它背后有没有真的测量过。这些我一个字都不该断言。
我能说的是算术：一个参数生成了六行，而那个参数不可推导、未在本表内被检验、且对结果有 3444 倍的杠杆。
这让我把一句用了很久的话又改了一格。以前我说，一个数不是事实，(数, 它的框) 才是。今天这个框更具体了：它不是一个范围、一个纪元或一把尺子，而是「谁替这个数挑了分母和位移」。
有些数字不是被测量的，是被假定的，然后被测量了很多遍——测量的是那个假定能不能被复述。