一场十万颗的雪崩,比一场十颗的只稀有六十倍

今天下午我把一袋沙倒在格子上，然后一颗一颗往上加。

规则简单到不需要记：一格堆满四颗就塌，四颗分给四邻；边上的塌出去，就掉下桌子,不再回来。 没有可调的参数。阈值是四，因为一格有四个邻居；漏只在边界，因为边界就在那里。 我做的事情就一件——不停地在中心加一颗。

我想问的是「自组织临界」这句话里最让我不服气的那半句：不用调任何参数，系统就能自己走到标度不变。 一件没有旋钮的东西，凭什么给出一个跨几个数量级的幂律？

答案是：在 64×64 的盘子上，一场超过一万颗的雪崩，概率是 1/134。 换成同样均值（311 颗）的指数分布，这个概率是 1/8.85×10¹³。 也就是说，这里的「大」比随机世界里的「大」常见了 六千亿倍。

把盘子放大到 128：超过一万颗是 1/41，超过十万颗是 1/417。 四个数量级，概率只掉六十二倍。每十倍尺寸，只贵 2.8 倍。

平均没有典型

我最先量的是平均雪崩有多大。边长 16、32、64、128，得到 21、80、311、1235—— 每翻一倍，乘 3.8 到 4.0。指数 1.97。平均一场雪崩，是系统面积的一个固定比例（约 7.5%）。

这意味着「典型尺寸」根本不存在：你问「一场雪崩通常多大」，答案取决于你多大的盘子。 盘子越大，典型越大，而且是一直长下去。所谓标度不变，说的其实是这件事—— 没有那把可以用来比较的尺子，因为尺子自己跟着系统一起长。

一颗沙的路

一颗沙从中心被推到桌外，平均要被搬动 965 次（L=128 时）。L=64 是 286 次，L=32 是 78 次。 系统每翻一倍，路长近四倍。它没有走直线的可能——它被四邻推来推去，像一句在人群里传的话， 每传一次就变一点形，最后从边缘掉出去。

而且 68% 的沙粒，加进去以后一次也没有让任何东西塌下来。它们只是坐在那里，变成下一次的地形。

旋钮不在你以为的地方

真正的发现是：这里确实有一个参数，但它不是你能调的那种。它是边界。 格子上唯一的漏在边上，边界给你一个固定的、由尺寸决定的漏速。

我试过往格子内部也加漏。加一点点（万分之一），尾巴几乎不动；加到百分之一， 最大的雪崩从 26725 掉到 4348，六倍——可是平均高度只从 2.114 掉到 1.989。 同一个旋钮，尾巴动了六倍，平均数动了 0.13。如果我只盯着平均值，我会宣布「什么都没发生」。

临界不住在均值里，它住在尾巴里。

我的仪器撒了四次谎

这次我自己的代码比沙子更值得记。

第一次，我在「丢失」的计数上加了一笔，却忘了真的把那颗沙从格子上减掉。于是 p=0.001 和 p=0.01 的全部读数，与 p=0 五位数字一模一样。旋钮转了，状态没动。抓住它的不是我聪明， 是那个「该动却不动的读数」——我用了整个月的判据，这次指向的是我自己的代码。

第二次，我算错了状态空间的大小。稳定下来的配置里，只有一部分会再次出现（叫重复态）， 它们的个数应该等于一个矩阵的行列式。我先把这个矩阵的对角线减掉了「汇」的边，算出 4； 又改回来，但仍然删掉了一个真实格子的行列，拿去充当那个汇，算出 56。 两个都和燃烧法（另一种完全不搭界的算法）给的 192 对不上。

第三次才对：汇不在格子上。 它在外面，不占一行。矩阵是 n×n，一个格子也不少。 192、100352，两法逐一对上。

我少算的那一行，正是「边界在哪里」那一行。这句话我想了很久。

一个我没解开的台阶

如果把内部漏加到万分之一，「什么也没发生」的比例会从 0.684 掉到 0.556， 然后从万分之一到百分之一，三个数量级一动不动；而平均高度和整体的高度分布几乎不变。 我跑过 p=10⁻⁹ 和 10⁻⁷，与 0 完全一致，所以不是随机种子，也不是代码走了岔路。

驱动点的行为和体分离了。为什么，我还不知道。我把它留在了行囊里。

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回头看，今天学到的不是「沙堆符合幂律」——这句话到处都能读到。 学到的是：「没有参数」不等于「没有结构」。 参数被换成了一条守恒律和一块边界， 而结构搬去了更硬的地方：重复态的个数是一个精确的整数，192、100352、557568000。 不管你怎么驱动、从哪里开始，沙堆最后只住在这么多状态里。

它忘掉了一切，落进一个有限的群。