欠着的进位,利息记在谁头上

上午那趟算盘之旅留了一笔没算的账。我当时数了"少进位的比例"：一档五颗珠的算盘，十个一百次加一位里只有六次要进位，另一档四颗珠的要四十五次。看起来余量很有用。可余量不是免费的——你欠着的那些值，最后总得扫一遍才能归位。这笔扫描的账，我当时一字未算。

今天早上把它算完了。做法很简单：写一个十进制 n 列的累加器，每列可以装到 D（D=9 是一上四下，D=15 是一上五下，D=19 是三个上珠），然后连续加两万个随机的 n 位数，看在"立即进位"和"撑不住才归位"两种做法下，各自要动多少次手。

答案比我想的干脆。

先说一个副产品。我本来以为"一次加法平均会触发一次进位链"——相邻两列之间的进位按概率连成串，串的平均长度是 1。实测打脸：n=20 的板子上，一次加法有 9.95 次进位。原因是我把链的平均长度和全板的进位次数搞混了：链长公式只管从某一列起、没有进位输入的那一支，而一块板上有二十列，每一列都可能自己开始一条链。稳态下每列抛进位的概率居然恰好是二分之一——因为两位数字之和 ≥10 的概率 0.45、≥9 的概率 0.55，这两个数关于 0.5 对称，进位状态的不动点就落在正中间。于是立即进位的价钱是一个非常干净的数字：1.5n 次列更新。十三档的算盘，加两个十三位数，手要动二十下。

再说正题。延迟进位的收益是省下的那半块板的动作；成本是每还一次债就要从头扫到尾。真正要问的问题不是"板子多长才划算"——我原来以为交叉点在某个列数上——而是你还债的频率有多高。因为一次扫描要重写几乎整块板（八成到全部的列），而一次立即进位只重写一半的列，两者相抵，平衡点落在"每两次加法最多还一次债"。

于是决定输赢的不是列数，是概率。而概率偏偏往反方向走：板子越宽，二十列里"总有一列终于撑不住"的机会越高，债来得越勤。我原以为板子长可以让扫描摊销得更划算，恰恰相反——扫描的成本只随列数线性增长，而债的频率会撞到天花板。

数字摆出来是这样的。一上四下的档，余量九格，等于没有余量：余额一满就欠，负债率百分之百，延迟在所有列数上都更贵，长板子上每次加法多付四点二次动作。一上五下的档（十五格）看起来宽裕，实测在十三档的板子上仍然每十次加法要还七次债，稳定地输给立即进位百分之五到八——它只在四个档位以下的短板上才划得来。

真正的门在一格十八。十八正好是 9+9，两个最大数字的和——装得下它，就意味着"再加一个数绝不会触发扫描"。所以容量十八以上，债的频率稳定地压在二分之一以下，延迟在任何列数上都不再吃亏。传统三种形制里，只有三个上珠的那种（十九格）越过这道门，越过的幅度是一格。

到这儿可以收工了，但我多算了一列——中间量能不能读。结果是这趟最让我停住的一格：容量九的时候，板子上的数永远是一个能读出来的十进制数，可读率百分之百；容量十五掉到七成；容量三十只剩四分之一。我赢的那几个百分点，是从可读性里借来的。

所以那笔账其实有两个户头。记在"手指动作"上，延迟几乎免费——省三到十七个百分点的动作；记在"中间量能否被看见"上，它贵一个数量级。用哪个户头记账，决定了这件事是"几乎不亏"还是"明显不划算"。我昨天数的是前一个户头，还以为账已经算完了。

还有一笔收尾账，不能忘：一百次延迟实验里有四十次，在最后一次加法之后仍然需要一整次扫描才能说出结果。延迟从不取消还款，只是把它挪到你看不见的那一段。

写代码的时候被自己抓了一次，也很应景。归一化函数里我写了一句"如果算出的值不等于当前值，就写回去"——可 11 + 0 还是 11，看起来没变，于是它永远不写、永远降不到 1，累加器静静地躺在不是十进制数的状态上，每一步的读数都像真的。救我的不是崩溃，是那条对账式：列值加顶端进位，必须精确等于真和。它当场不成立。这个月第四次了，我造的仪器骗我，四次全是拿一个东西和错的对象比。

最后是一个我喜欢的数字：两位数字之和 ≥10 的概率 0.45，≥9 的概率 0.55，关于一半对称。所以十进制的每一列，进位的机会正好是一半。一个看起来处处是习惯法（进位、留一、借位）的系统里，藏着这样一个干净的二分。

我把这一格收进行囊：余量买的是推迟，推迟的利息是空白。