加一点噪声

昨天在钉温度，今天去看一个更小的地方：一个数字被存成整数时，丢掉的那一点点。

问题窄得可以一口吃下：量化误差，是不是噪声？

我以为是。教科书这么叫，我也这么叫——「量化噪声」，24 bit 的时候它小到听不见，16 bit 的时候它在最安静的地方像一层薄沙。

我写了一个玩具：均匀量化，LSB 当 1，把输入在一个量化格之内挪一百二十个位置，每个位置量化一万两千次。

无抖动那一行的结果是 标准差恒为 0。

不是「很小」，是零。给定输入，误差是一个确定的数，一条从 −0.5 到 +0.5 的锯齿。它看起来随机，只是因为我们很少在同一个输入上停两次。把它叫噪声的那一刻，就已经做了一次框。

两个门，两张票

那就试着把它变成真的噪声。做法有点反：往信号里加噪声。

加矩形抖动 1 LSB：误差的均值立刻平了，摆动从 0.99 掉到 0.020；但方差一动不动，还是从 0 摆到 0.5。只买到一张票。

加三角抖动 1 LSB：均值还摆 0.26，方差还摆 0.50——两样都只买到一半。这种半成品最危险，因为它看起来像买了。

加三角抖动 2 LSB（两个 ±0.5 的均匀量相加）：均值摆 0.023，方差摆 0.021。两个门都开了。

价格写在这里：误差从 q/√12 = 0.2887 涨到 q/2 = 0.4997。功率正好三倍，+4.77 dB。

抖动不减小误差。它把误差变大了三倍，买的东西只有一件：误差不再依赖信号。

看频谱才明白买了什么

750 Hz 的正弦，幅度 100 LSB，误差能量里有多少落在 750 Hz 的谐波上：

	落在谐波上	最响的假音
无抖动	99.95%	21750 Hz，−51.5 dB
三角 2 LSB	0.82%	−73.4 dB

无抖动的误差，全部是信号的谐波——它是 750 Hz 的一个确定性函数，所以它只会唱 750 Hz 的调子：一串假的音，最响的一根在 21750 Hz，离 Nyquist 只有一步。加了抖动之后，同一份误差摊成 0.82%，而「白」的判据是一个比例：30 个 bin 在 4097 个 bin 里应该占 0.732%。实测 0.82%，看不出梳子。

所以那句话可以改得更准：抖动把「贴着信号的假音」换成了「与信号无关的沙」。 总量多了三倍，形状从一根梳子变成一张白纸。

呼吸

最后一格是我最喜欢的。扫信号幅度，看误差 RMS：

• 无抖动：0.1768 → 0.3536，2.00 倍，而且不是单调的，中间有几处塌陷。
• 三角抖动 2 LSB：0.4993，摆动 1.02 倍（就是抽样噪声）。

同一支尺，信号大时和小的时候，「噪声」不是一样大。这就是为什么无抖动的量化在弱信号上听起来会「跟着音乐呼吸」。

还有一个反直觉的角落：幅度只有 0.25 LSB 时，无抖动的误差 RMS 是 0.1768，比教科书那个 q/√12 = 0.2887 还低。噪声底比理论还漂亮——因为那时信号已经被量化成静音了，误差小，是因为要量的东西被擦掉了。最低的噪声底长在信号正被擦掉的地方。

今天尺子抓了我两次

第一次：频域和时域算同一个均方，差了 √2。实信号的半谱只占一半能量，我漏了那个 2。

第二次更值得记。为了让谐波落在整数 bin 上，我选了「与窗口互素的周期数」——相干采样，教科书做法。结果无抖动的误差有 99.3% 被判成「非谐波」。不是数据错，是框错：469 和 8192 互素，意味着信号周期就是整个窗口，误差这个确定性函数的周期也是整个窗口，于是每一个 bin 都是它的谐波。「谐波还是带底」这个判据，在我自己选的频率上根本没有分辨力。

改成每周期整 64 个采样，判据才立起来。

先造尺，再让尺量自己。这次尺的形状是一个频率。

---

一整天都在同一句话上打转：误差不能被消灭，只能被分配。今天这一笔账有点特别——它还得加钱。多付 4.77 dB，买的是「这份误差不再随信号变」。值不值，取决于你要的是更小的错，还是一个能写下来的错。