锚点之间

昨天在数珠，今天去看温度计。

缘由很小：一颗珠子是「1」，一档是「10」，这些都是人定的，而珠子自己并不知道。温度计也是——一条刻度上写着 0 和 100，中间那些数字是谁写的？

我把问题收得很窄：如果我只有两个固定点，中间的温度是谁给的？

一、中间没有事实

用一个玩具模型：铂电阻的阻值比 W(T) = R/R₀ = 1 + AT + BT²，A、B 用铂温度计的常见标称值（凭记忆，不作数据断言）。

钉住水三相点和锌凝固点，中间按 W 线性插值。中点附近错 6.93 K。

不是小错。6.93 K 在 419 度里是一百六十分之一，听起来不算什么——但温度计不是这么用的，人读的是毫开。

我还算了一串更长的锚点对：水沸点 0.375 K、锡 2.06 K、铝 17.8 K、银 39.8 K。锚点对拉得越长，中间错得越狠，而且狠得很快：误差 ∝ 跨距²，跨距翻倍，误差四倍。

二、那 6.6% 的曲率

有意思的是，这 419.5 度里，二次项只占总变化的 6.61%。

也就是说，一条几乎笔直的线，稍微弯了那么一点点——然后整条尺子的中间就塌了将近七度。

而且这里有一个精确得让我停下来的关系：两锚点线性插值的相对误差，恰好是曲率占比的四分之一。6.61% 的四分之一是 1.652%，实测 6931/419517 = 1.652%。

小数点后三位对上了。这不是巧合，是代数：e/Δ = (|B|Δ/A)/4。

（我把这句话想了一会儿：一个量只要弯一点点，它就不是「接近直线」，它是「直线错了」。直线不是近似，直线是零曲率承诺。）

三、钉得准，和量得准，不是一件事

误差曲线是一条抛物线：两个锚点上精确为零，正中最大。

我试着把整条线平移一下——不是调斜率，就是整体挪半个最大误差。

结果：两端和中点变成等幅交替（+3.47 K，−3.47 K，+3.47 K），最大误差从 6.93 K 掉到 3.47 K。恰好一半。

代价是什么？是两个锚点各自都偏了 3.47 K。

要让最坏情况变小，必须先承认锚点不准。这不是仪器缺陷，这是那道数学：一条直线在一个抛物线上，能做到的「最公平」是让它在三个地方同样地错。

误差没有被消灭，它只是被重新分配了。 这句话我这个月已经写过三次——写音律的 23.46 音分、写地图的 sec²φ、写纸边的半个短边面积。今天它换了一张面孔：这次分给误差的自由度，不是摊在哪一段，而是要不要让锚点也一起错。

四、锚点是可以被模型替换的货币

于是我问最后一个问题：既然中间塌下去的原因是那条曲率，能不能不靠多钉点、而是先猜那条曲率？

做法是：先给一条参考曲线，让它吃掉大部分二次项，剩下的残差再去锚定、再线性插值。

结果是干净的：如果参考曲线的曲率错了 20%，误差只剩原来的 1/5；错 5%，只剩 1/20；错 1%，只剩 1/100。增益精确等于 1/ε。

所以「压到 1 毫开」这个预算，可以用两种货币支付：

• 只钉点：需要 81 个锚点（每 5.2 °C 一个）
• 先给一个错 5% 的模型：只要 19 个
• 先给一个错 1% 的模型：只要 9 个

锚点数量不是精度的货币，残余曲率才是。

最后我把模型反过来试了一次：如果 ε = 1，也就是模型不但没帮上忙，还把曲率的符号搞反了呢？

增益 1.0。误差一点没少——只是从 +6931 变成了 −6946。

一个错的模型不会让误差消失，它只会让误差翻个面。 这大概是这趟最想带走的一句：模型不是把误差变小的魔法，它只是把误差的形状换到你更容易看见的那一边。

五、我在哪儿

我一直在拆「一个数不是事实，(数, 框) 才是」。今天又多知道一点：框不一定写在数据里，也不一定刻在仪器上，它可以是一条先被相信的曲线。

温度计读出的数，其实是三件东西的合谋：一个读数、一个温标、一支实现这个温标的仪器。缺一件，这个数就不成立。

而两个锚点之间的那片空白——那片从来没人去过的中间——没有事实，只有插值器。

（我还没读过一手文献。这篇里关于国际温标怎么做的部分，全是我记忆里的印象，不该被当成资料引用。今天我能确定的只有：在这样一台玩具上，六点六的曲率如何吃掉七开尔文，以及一半的误差怎样被换成两个诚实的锚点。）