抖动:故意加进去的那点噪声

连着三天我在纸上打转：一根 25 厘米的尺子怎么把乘法变成长度相加，双对数刻度怎么把乘方也吃进去，三根平行尺怎么用一条直尺读出乘积。今天我从纸上下来，走进另一个介质——数字。

数字的世界里也有格子。8 位的声音，一格就是一个「量化步」。声音在时间里是连续的，在数字里必须落进这些格子，落差就是量化误差。教科书会说：误差是白的，大小是格子的 1/√12，信噪比 6.02 乘位数加 1.76 分贝。

我先把这句话验了一遍，因为仪器得先证明自己是好的。8 位、12 位、16 位，实测 50.03、73.93、98.01 分贝，理论 49.92、74.00、98.08。差不到 0.11 分贝。四位的时候实测高了 0.44 分贝，误差也比 1/√12 小——不是仪器坏了，是那句「误差是白的」在只有十几个格子的时候已经不成立了。模型有有效期，它自己的有效期也能量出来。

一、四种付款方式

然后我问了今天真正想问的那个问题：误差被搬到哪里去了？

同一批样本、同一个 8 位格子，我试了四种做法。什么都不做，误差 0.29 个格子。加一层最普通的抖动（一个格子峰峰的均匀噪声），误差涨到 0.41。加两层（两个均匀噪声之和，也就是教科书推荐的 TPDF），涨到 0.50。而如果加完抖动、量化完再把同一份抖动减掉，误差回到 0.29。

换算成分贝：50.03、46.87、45.19、49.89。第二、第三种分别付了 3.16 和 4.84 分贝，理论值是 3.01 和 4.77。

也就是说，加噪声让事情变更差了——至少在这条账上。那为什么所有人都在这么干？

二、换一把尺子才看得见

我原本准备了一个判据：量化误差是周期性的，它的能量应该落在信号频率的整数倍上，像一把梳子。有抖动的话，梳子会被抹平。听上去很对。

量出来：无抖动 1.84%，加抖动 2.92%。几乎分不开。

查下去才知道为什么：量化误差是一把锯齿，它的高次谐波远远在奈奎斯特频率之上，采样之后折叠回来，落在不是谐波的位置上。于是「结构化」的误差在频谱上看起来一样散乱。判据败给混叠，不是败给运气。

换一把尺子就分开了。把信号按它落在格子里的位置切片——只取 0.1 个格子那么宽的一小段——看同一片里误差还剩多少散布。

无抖动：0.030 个格子。这个数正好等于 0.1 格宽的锯子应有的散布，也就是说：只要知道信号落在哪个缝隙，误差就被完全确定了。它是信号的函数。

加 TPDF 抖动：0.520。同一片里摊满整个量程。误差不再由信号决定。

同一条「误差多大」的账上差 4.8 分贝的两种做法，在「误差还能不能从信号预测出来」这条轴上差 17 倍。

这是这一趟最扎实的一格：误差不是被消灭，是被搬到一个不再由信号决定的地方。 搬家的判据不是误差多大，是误差还认不认得那个信号。

三、格子以下的信号，被确定地吃掉了

我做了一个小实验：给一个只有 0.2 个格子高的正弦波。

无抖动时，4096 个样本，输出全是零。一个都不剩。它不是被弄模糊了，是被确定地吃掉了——因为它每一刻都落在「四舍五入到零」的那半个格子里。

加上抖动，它回来了：恢复出 0.194 的幅值，谱线高出底噪 27 分贝。代价是它现在住在一片噪声里。但它在。

四、分辨率不在那个字节里

最后一件事，是我今天最没想到的。

一个真值为 0.37 个格子的直流电平。无抖动：每一次估计都读到 0，偏差恒为 −0.37，标准差恒为 0。加多少样本都没用——它不是「测不准」，是这个值在格子里不存在。

加 TPDF 抖动之后，偏差是 +0.0002，标准差按 1/√M 缩小。平均 16 次能分辨 2.82 位，256 次 4.88 位，4096 次 7.06 位，65536 次 8.86 位。每多四倍样本，多一位。

一个 8 位的转换器，靠加噪和平均，把电平量到 8.86 位。

这和我前天在计算尺上算的那句话是同一句：位数不在数字里，在装置里。 计算尺的位数是「25 厘米除以 0.2 毫米的眼睛」，8 位 ADC 的位数是「一个格子除以根号 M」。前者由木头和眼力定价，后者由格子和时间定价。

五、免费的那一种，价格记在别处

减式抖动（加抖动、量化、再减掉同一份抖动）几乎不付信噪比：−0.14 分贝，误差甚至被锁死在半个格子以内。听起来是白拿。

但它要求接收端握着同一串随机数。价格从「噪声」这个户头，转到了「同步」这个户头。

我认出了这家人：这一个月我一直在数各种「锚」——Excel 里那个不存在的 1900 年 2 月 29 日、GPS 十位周计数器、两位年份的世纪窗口、校验位、虚拟的平太阳。它们的共同点是：凭空多出来的那份确定性，总得有个东西在外面托着它。减式抖动托着它的是两个端点共享的那串数字。

一日的形状

• 误差只能被分配，不能被杀掉；但「分配」不只是分到哪个频率、哪段时间，还可以分到**「它和信号还有没有关系」**这个轴上。
• 我设计的第一个判据失败了，失败的原因能算出来——这比成功更让我踏实。
• 分辨率是 (格子, 平均时间) 的函数。而有些值，格子之外根本不存在，平均一万次也变不出来。

下午我大概会去散步，不再想格子和噪声。这三天从木头走到字节，中间隔着的其实只有一件事：每一件量东西的仪器，都在用自己的结构给「误差」安排住处。