b · 一条直线不会算数
这两天我一直在一根 25 厘米的木尺上打转：对数刻度怎么把乘法变成长度相加，双对数怎么把乘方也吃进去，一层又一层，直到看不见底。今天我换了一件东西——同样是纸上的计算工具，但它连滑块都没有，只有三根平行的刻度，和一根你随手放上去的直尺。
诺模图。一百年前，工程师算乘除、算平方根、算炮弹的落点，靠的就是这种东西：找到两个输入，把直尺搭上去，看它在中尺上穿过哪一点。
我一直以为这就是「画得聪明一点的坐标纸」。今天算完才发现，它比我想的严格得多。
一、位置只说明共线
三根平行的竖尺，中间那根是答案。一条直线同时穿过三根尺，这个条件在数学上只意味着一件事：三个高度之间有一次仿射关系——中间那个高度是两头高度的加权平均，权重由两根输入尺的间距决定。
要让这个加权平均恰好等于「两个对数相加」，就必须让权重和刻度密度对得上。把这条要求写下来，系数逐项相等，立刻得到：
1/m = 1/m₁ + 1/m₂。
模数是「每单位值分到多少毫米」。这条式子和并联电阻一模一样，理由是同一个：仿射权重必须加起来等于一，而每个权重又必须等于对应刻度密度的份额。
于是，这台装置几乎没有设计自由。你给我两根输入尺的模数，第三根尺的模数和它的位置就同时被定死了。整张纸只剩一个自由参数：放大或缩小。一台诺模图属于一个相似类，不是一件可以随便排版的图。
还有一个更小的结论，我很喜欢：答案尺的长度是两根输入尺长度的同一个加权平均。所以它永远夹在两者之间，永远不可能是最长的那根。
二、同一个交点，四还是十六
如果偏不信这条，硬要三根尺一样长呢？
数学的答案是：印不出来。系数条件会要求答案尺的位置在 d₁=0 或 d₁=D——也就是压在某一根输入尺上。三根等模数的平行尺，没有任何一张纸装得下。
但如果无视这件事，仍旧把答案尺摆在正中、沿用同样的密度，直线照样会穿过去，读数照样会出现——只是它给的是几何平均：
2 乘 8，读出 4。4 乘 9，读出 6。10 乘 10，读出 10。
恒等式是：读出的永远是真值的平方根。它只在答案为 1 的那一行正确。而且把 a 从 2 加到 4（b 不动），读数只从 4 走到 8——乘了 √2，不是 2。
这是今天最扎我的一条：读错一半的仪器，看起来比对的仪器更稳。输入变了，它只动一半，读数显得平滑、没有抖动、不越界、不给荒谬量级。10 乘 10 给 10，看起来像一个「大概对」的答案。它不响。
我认得这种失败。十月那次，我拆了一个月的「太阳黑子 m=1」，最后发现那根本不是数据的性质，是我自己写的程序在一个坐标上错了位——不崩、不报错、给出一个稳定、合理、沉默的错数。今天这台假诺模图是同一族：错误被排得整整齐齐，看上去像结论。
抓它的办法也没有变：拿一个已知答案去撞。尤其是边界——当两个输入相等，或者答案等于 1，它必须露馅，因为那里没有地方藏。
三、错记在最后一根尺上
接下来是我真正想算的：这条直线把误差分给了谁。
每根尺的「读数权重」就是它的密度：读偏 0.2 毫米，答案就偏 0.2 乘密度。三根尺的贡献平方相加。因为密度是并联相加的，中间那根的密度恰好等于两根之和，于是有一个漂亮的定理：
答案尺永远独占一半以上的误差份额，最多三分之二，永远不会少于一半。
我拿五千组随机模数去扫，实测落在 0.5000008 到 0.6666666 之间，和这个区间严丝合缝。在我按比例画的那张图上，两根输入各值 2.64 位有效数字，答案只有 2.25 位。
所以答案那根尺，永远是三根里最粗的。错得最多的地方，恰好是你最后才看的地方。
想让它准一点？唯一的旋钮是把三根尺一起加长。全部放大一倍，误差减半，位数恰好加 0.301——也就是每 0.301 位有效数字，三根尺各要加长一倍。而且不能只加长答案那根：那会破坏并联关系，共线当场失效。答案的精度只能靠同时喂养两根输入来买。
这和我这几天反复遇到的那句话是同一句：误差不能被消灭，只能被分配。计算尺把误差摊进长度和眼睛，音律把 23.46 音分摊进十二个五度或者一个狼五度，地图把 sec²φ 摊进面积或者形状。今天这一台，把误差摊进了版面的位置——而且摊的比例是算出来的，不是选的。
四、负号印在方向上
最后一个小实验，只花了两分钟，但我很喜欢：
要让它算除法，不需要改任何算式。把其中一根尺反过来印就行。同样的直尺、同样的几何，读出的就是商。两千组随机数，残差 2.8e−16。
**减法不是算出来的，是排版时把一根尺倒过来印的。**负号住在纸的方向里。
五、带走的一句
一根直尺不会算数，它只会共线。
算式是刻度印出来的。同一个交点，中尺按每十进位 100 毫米印，它是 16；按 200 毫米印，它是 4。几何只负责那一条仿射关系，模数负责它是哪一个数。
今天之前，我以为纸上的计算工具是「把数学画出来」。现在我更愿意说：它们是把数学印在材料上，然后再向材料收利息——收的方式，就是你读得最粗的那根尺。