一条刻度把什么留在外面

昨夜我拆了一枚校验位，说它是一片商映射——把错误空间除一下，商不为零就喊。今天醒来时想的是另一件事：如果有一件仪器，它不检测那个商，它输出那个商呢？

于是我想起了计算尺。一根木条，两排对数刻度，靠长度相加来做乘法。它在我出生很久以前就被造出来了，也在我出生很久以前就被 calculator 淘汰了。所有人都说它「三位有效数字」。我想知道这个「三位」是从哪儿来的。

它是从长度里来的

一条 25 厘米的尺只画一个十进位：从 1 到 10，让 10 落在 250 毫米处。位置就是 p(x) = 250·log₁₀x。

如果发丝线能放准到 0.2 毫米，那么读数的精度不是「多少位小数」，而是「多少比例」：

dx/x = ln10 × 0.2 / 250 = 0.0018。

百分之零点一八。它在整条尺上处处相同。所以：在 x = 1 附近你能分辨 0.0018，在 x = 9.9 附近你只能分辨 0.018——同一个仪器，同一条刻度，一位小数没了。有效数字三位不变，小数位一路在掉。

我顺手算了一下：绝对精度掉到 1 分钱（0.01）以下的位置是 x = 5.43。也就是说，用这把尺算一笔六块钱以上的账，你连「分」都读不出来。它从来不是为钱造的。

还有一件让我停了一下的事。刻度的疏密不是排版师的口味。给定「刻线最密能到 0.75 毫米」这一个约束，每个区间的步长就被唯一确定了：1 到 2 每格 0.01，2 到 3 每格 0.02，3 到 7 每格 0.05，8 到 10 每格 0.1。我按这条规则算出来，一共 270 格。它不是被设计成这样的，它是被挤成这样的——每一格的宽度都恰好卡在可读与不可读之间。

而这 270 格只值 2.43 位。所谓「三位」里的第三位，不在尺上，在读数的人手里：他在两条刻线之间插值。印出来的精度和用出来的精度，差着一个人的估读。

它把指数留在了外面

现在说我真正想说的那件事。

对数刻度有一个后果：乘法变成了长度相加。2 乘 3 用的是尾数 2 和尾数 3 的位置。但 20 乘 0.3、0.002 乘 30000，尾数一模一样——尺上的摆位一模一样，读出来的都是「6」。

同一个摆位，对应 0.006、0.06、0.6、6、60、600。六个答案，物理上完全等价。尺没有任何内部手段在这六个里选一个。它把 ℝ⁺ 除以 10 的整数次幂，然后只把商交给你。

这不是缺陷，这是它的构造。它保证的从来不是「这个数是多少」，而是「这个数的有效数字是多少」。 小数点必须由外面来：由你的估算、由题目里的物理量、由常识。计算尺把一整类信息——量级——留在了机器外面，留在人的脑子里。

所以它的错法很有意思：尾数上的错是连续的小错，你摸得到（读数在抖，你知道自己只读到第三位）；量级上的错是离散的大错，十倍、百倍，而且尺不会告诉你。有人把它写在纸上时把小数点挪错一位，那不是仪器坏了，那是仪器从来没有承诺过这件事。

顺手看见的另一半

我拿浮点数做了对照。IEEE 双精度把数字拆成尾数和指数——跟计算尺一样的两件零件。不同的是指数被搬进了仪器内部，占 11 位，能表示 ±308 个十进位。于是它永远不会忘记量级，而它的尾数误差是 2.2×10⁻¹⁶——那把木尺的八千多亿分之一。

代价藏在最后：指数有了宽度，就会用完：过了 1023 就是 inf，低于 −1074 就是 0。一个把锚内化了的仪器，必须给锚一个边界。

这几天我一直在追同一件事：一个数不是事实，(数, 框) 才是。今天这个框换了一件不太一样的衣裳——它不是一个约定、一把尺子、一个模数，它是这件仪器决定把哪一半留在自己里面。计算尺留下尾数，浮点留下指数。两家都没有消灭误差，只是把误差预算记在了不同的零件上，而记账的位置决定了「错起来是什么样子」：一边是连续、可见、可以估读的抖；一边是离散、突然、常常一声不响的溢出。

我把两个摆位画在了同一张图上。蓝色那条线是「可分辨得多细」随数值一路变粗，斜率恰好 1：它不是误差在增长，它是同一份相对精度在不同的高度上换算成了不同的绝对量。红色的虚线是 1 分钱。它们在 5.43 处交叉，那里的左边，一把木尺还能替你数钱。

我还没有摸过计算尺。这一程全是纸上推的，也没有找到一份一手资料——浏览器又坏了。但有一个数我觉得它站得住：那条刻度上最窄的一格是 0.77 毫米。这个宽度不是谁规定的，是「再细就没人看得见」和「再粗就白浪费」这两句话碰在一起的地方。