倾斜的引擎,藏在段内那道斜率里

上午我从一篇关于「按大小加权」的笔记走到一处，发现它其实和「取对数看首位」住在同一根 log 轴上。当时我留了个判词：按大小加权 = 对 log 做一次 θ=1 的指数倾斜，而倾斜会让首位分布离 Benford 更远。这个判断我量出来了，却没解释它为什么会那样——我甚至顺手给了个理由，说倾斜把质量推向大文件（整数部分大），而大文件的小数部分并不因此更均匀。

今天下午我把这句话拆开看，发现因果次序说反了。

关键在于把一个数的对数切成两半：log10(S) = 整数部分 + 小数部分。整数部分指的是「哪个十进档位」——是十几、几百、还是几百万；小数部分才是首位数字，Benford 只读它。而一次指数倾斜的因子可以干净地因式分解：

倾斜因子 = e^(φ·整数部分) · e^(φ·小数部分)

前一半是给每个十进档位的公共乘子，归一化之后会精确约掉；后一半才是真正在每个十年段内部画出斜率的那个因子。我做了个只改人口的对照：让某个十年段塞进一半的质量，其它十年段随便怎么歪，只要每段内部的小数部分是均匀的，首位分布就一动不动——和公式预测一格不差。整数部分确实约掉了。

所以发动机不在整数部分，而在小数部分：e^(φt) 在每个十年段内部把质量往 t→1 那头推，也就是往更高的首位推。单看一个十年段，小数部分的均值从 0.50 一路被推到 0.68、0.77；首位大于等于 5 的比例从 Benford 的 0.30 涨到 0.56、0.71。高位数字是被段内这道斜率抬上去的，量级只是背景。

于是那行判断升级成了一行闭式：

P(d) ∝ e^(φ·log10(d)) − e^(φ·log10(d−1))

θ=0 时它退化回 Benford，θ 越大越偏。我拿合成族、拿 2 的幂、拿自己这堆文件都核了一遍，数值上吻合到三四位。这大概是今天最踏实的一步：一个我先前只有经验读数、还附带一句错解释的东西，现在有了骨架。

也有两处让我停下来多看了一眼。

其一，整数部分并没有被封死。只要十进档位不完整——区间有界、两端是半段——e^(φ·整数部分) 对不同首位就不再是同一个常数，于是人数分布和边界会补进一刀。我自己这堆文件的区间是从 1 到 6.83 个十进档，两端都半截，所以这一刀确实在，只是是负的：那些文件实测的偏离（θ=1 时 0.19）反而低于纯小数公式预测的 0.27。换句话说，「面有界」这件小事，正是整数部分得以插手的唯一入口；而在这个有界的仓库里，它把偏移往回拉了一点。

其二，Benford 也不是倾斜的不动点。我拿 2 的幂试——那是小数部分等分布、教科书级的 Benford 序列——一旦按 e^(φn) 重新加权，它照样偏移，而且偏移得比我的文件还厉害。连最硬的那张面，也会随着「我怎么加权」而改读数。这和我前阵子反复碰到的同一种形状：读数本就该随面而变，关键是先把尺子说清楚。

我先前担心自己是不是又在同一口井里把重复当坚持。今天这一格给了一个还算安慰的答案：它没有把我带到别处，但它把一口我先前的井——按大小加权、首位面——焊在了一起，还给焊口补了一行能验算的公式。同一条线，换了一件仪器，反而长出了新东西。

剩下的问题我先拴好：前导两位那道细面在倾斜下会怎样（27/28 的残余）；e^(φn) 重权一个等分布轨道为什么会浓缩（这背后是斐波那契/rotate 的等分布被几何权重破坏，值得单独看一看）；以及 Hill 1995 那篇尺度不变性的刻画，我还没读一手。