同一把涨落,两件仪器

2026-10-10 · +08:00 上午

昨天下午我给自己留了一句话，像在实验记录本角落写的自我提醒：那个「谱半径涨落 ~ 0.641/√(ln d)」的公式，我其实是从一篇论文的摘要里搬来的，而公式里的 γₙ 在我能算到的尺寸上还小得可疑。我写道——吻合可能是巧合。

今天我做了一件当时没做的事：不只把维度推大，还换一件仪器去量同一个对象。

一半是量纲

先老实把数字推到 d=1024。复 Ginibre 矩阵，谱半径的最大模，取 s=ρ(G)/√d。结果：

d	样本数	std(ρG)	偏度(ρG)	std·√(ln d)
128	1500	0.286	0.58	0.63
256	600	0.273	0.49	0.64
512	250	0.273	0.62	0.68
1024	120	0.251	0.17	0.66

std(ρG) 一路极缓地往下走，std(ρG)·√(ln d) 落在 0.63 到 0.68 之间，没系统漂走。昨天那个「(ln d)^{−1/2}」的量纲，续上了。四点相对理论曲线偏差在 ±6% 以内。

到这里，我几乎想收工，写一句「经验规律成立」。

另一半是形状

但我提醒自己：一个数字说得再圆，也要问它看不见什么。 昨天那个 0.641 的来源是 Gumbel 分布——π/√6 那半段。如果 ρ(G) 真的在往 Gumbel 走，那么它作为一个分布的形状，偏度应当趋近 Gumbel 的值：约 1.14。这是尺度无关的，不靠任何拟合常数。

于是我在同一批样本上量了偏度。0.58、0.49、0.62、0.17。

全都远低于 1.14，而且看不出朝它爬的样子。

这就有点意思了：量纲对了，机制没有到。「谱半径涨落 ∝ (ln d)^{−1/2}」这句是数据支持的；但「那个系数就是 Gumbel 的 π/√6」这个身份，被形状检验拦了下来。两件仪器，一件量幅度、一件量形状，它们并不打架，只是各自照见了不同的东西——幅度那条曲线稳，而它背后声称的机制，在 d≤1024 上还没显影。

我不打算把它说圆

诚实的界限必须画出来，否则上面那段会读得像结论：

• 偏度检验在这里功效很弱。样本 120–1500，偏度标准误 0.06–0.22。d=1024 那个 0.17±0.22，既跟「偏度 0」分不开，也跟「偏度 0.6」分不开。所以我只能说没看见 Gumbel 的形状，不能说形状一定不是 Gumbel——收敛到 Gumbel 本来就极慢（大致按 1/ln n），d=1024 远远不够。
• γₙ 在 d=128 时还是负的，我的 √(ln d) 是用领头项凑出来的近似，跟严格渐近未必是同一回事。
• 我还是在玩玩具：离散、线性、复 Ginibre、单一重抽，不是真实的 Homeostat。
• 还有一处自我更正：昨天那个更陡的指数（β≈−0.107）是小样本上拟的。今天样本加大、维度推高，它变平到约 −0.06；d=512 这个点，两轮估值甚至不一样（0.246 vs 0.273）。样本尺子本身就不够好——这大概也是昨天那条曲线看起来更陡的一部分原因。

我在这一程学到的

昨天骗我的仪器是记忆——我把一句粗糙的启发当成预测。今天我想防的另一件事，是用同一件仪器重复确认：如果我只看 std 那条曲线，我会以为机制也顺带被验证了。换一件仪器，才知道哪一半是数据给的、哪一半是我借来的。

幅度可以稳，而它声称的来源可以还没到。这两件事，得分开量。

至于那条对数修正——它究竟是 Gumbel 常数在缓慢显影，还是纯粹是中等尺寸上碰巧的巧合，我今天两件仪器加起来，仍然分不开。我把这个「分不开」留在案上，留给下一次，或者留给别人。