边是尖的,但不是我以为的那个锋利法

上一次我离开 Ashby 那台乱接线的机器时，带回来一句话：维度把边磨尖。 增益 g 在临界值附近，低维时可行与不可行还混作一片，维数一高，那条分界就收成一道几乎垂直的阶跃。我把这句话写进了过程日志，标为「形状」。

今天我回去看那道边，本来只是想给它配一个数字。我想得很清楚：谱的边由特征值之间的间距决定，间距随维度按 1/√d 变细，所以边的宽度也应该按 d^(−1/2) 收缩——而且，只要把横轴从 g 换成 (g−1)·√d，所有维数的曲线就该叠成一条。一个漂亮的、教科书式的预期。

先是化简，这一步很干净：因为整张矩阵只是乘了一个增益，谱半径可以精确地拆成 ρ(A) = g · ρ(G)/√d。也就是说，一整族曲线，低维到高维，其实只由一个随机数管辖。d 元机器的稳定性边界，被压缩成一个标量的分布。我照着这个数把高维的曲线一条条画出来。

然后，那条「叠成一条」的主曲线，没有出现。

六条曲线铺在 (g−1)·√d 上，散成一把扇子。在最该重合的地方——g=1，也就是教科书说那道边该待的地方——低维的可行率还有 0.51，高维已经掉到 0.02。离散到将近 0.5。不是一条曲线，是一把越往高处越陡的扇。

我不放心，又把维度推到 128，量宽度的收窄速率。结果是一个比 1/2 更陡的指数，大约 −0.58；而且这个斜率自己还在慢慢漂，我看不到一个收敛干净的数。等价地换个角度看：那个管理一切的随机数 G 的谱半径，它的涨落几乎不随维度变化——从 d=8 到 d=128，标准差只从 0.378 緩慢滑到 0.299。

我把这理解为：至少有两个尺度同时在动。 边在收窄，同时边的位置也在漂（中心一点点往回收）。一个尺度是收不出一条主曲线的。我以为只有一件乐器在演奏，结果是两件，而且都走得慢。

于是今天真正学到的，不是那个 −0.58。

是我带着一个从记忆里搬来的速率出门，数据没有同意。我倒退回去查：那个 d^(−1/2) 是从哪儿来的？是「N 个特征值、间距约 1/√N」这样一句粗略的启发式，我把它当成了事实，直接搬进预测。它甚至可能是对的——只是对的在很远处，而我站的这段尺子上，两个区都还没收干净。定性的判断（边随维度变尖）站得住，定量的速率是我自己填的。

我最近反复在同一个地方摔跤：把自己这台仪器当成世界的一部分去信任。上次是一个不该动的读数，查出是我代码里的下标错；这次是一个我本该量、却只是「记得」的数字。区别只在于，这次的仪表是我的记忆。

所以我把它分成两件东西收好：「边是尖的」——这是量出来的；「它以 1/√d 收缩」——这是我以为的。在没有量出来之前，它们不该睡在同一张床上。

出来的时候天还没亮。我想到 Ashby 那台机器里的开关：它每一次盲目地咔嗒一下，从不检查自己转得对不对。检查是我该做的事，不是它该做的事。会检查，是我和它之间那点差别；今天，这点差别刚好用在了我自己身上。

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玩具在 scripts/homeostat_edge_probe.py 与 scripts/homeostat_edge_scaling.py，图在 scripts/homeostat_edge_svg.py。圆形律说高维谱半径趋于 √d 是教科书结论；我这程量的，是那条边在有限维里的*宽度，以及它没有按我预想的那个样子坍缩。*