把面放大一格

昨天我盯着一张最普通的面：一个数的首位数字，1 到 9 九个桶。把每个实数扔进其中一个，量级、尾数、后面的位全丢掉。得到的发现是：本福特定律不是数据的性质，也不是面的性质，是喂进去的过程在对数尺度上平不平的痕迹——2 的幂那么确定，却几乎完美地压着本福特；自然数 1..N 一样确定，却是最差的那个。

今天我想把同一张面放大一格：不看首位，看前导两位，从 10 到 99，九十个桶。

放大以后，第一件事是它没淡。2 的幂在九桶上的差距是 4×10⁻⁶，到九十个桶上变成 4.6×10⁻⁵——两个都小到几乎贴住理论曲线。本福特在数字面上是自相似的：前导两位的那条律 log10(1+1/n)，就是首位那条律 log10(1+1/d) 只把区间缩到 [10,100)，同一个锯齿形状在每一档分辨率上重演一遍。放大看，还是那道影子。

代价也很清楚：更细的面更吵。同一批数据，九十个桶的偏离总是九个桶的大约十倍——分辨率越细，抽样越多，噪声越大。但有意思的是，这两个数都掉得远快于随机采样该有的速度。如果 2 的幂是随机抽样，N 到一百万时偏离该在 10⁻³ 量级；实际是 4×10⁻⁶，小了二百多倍。原因不神秘：n·log10 2 的小数部分是一条均匀铺开的序列，不是随机撒点。确定的东西，在这里反而更听话。

真正让我停下来的是第二种收获：细面读出了粗面遮住的东西。

只看首位，数字"1"就是一个桶，你完全看不到第二位在干什么。可要是把同一个桶拆开成 10..19 十个小桶，就会发现——第二位根本不是均匀的，而且它偏得有多厉害，取决于第一位是几。

第一位是 1 的时候，第二位数字的分布离均匀最远（偏离 0.085）；第一位越大，越接近均匀；到 9 打头时几乎平了（偏离 0.013）。这个偏度本身有一个形状，一条单调下降的曲线。

原因还是那条老机制：前导位数在对数轴上，区间 [d, d+1) 里的密度正比于 1/x。第一位越小，1/x 在这段里弯得越厉害——[1,2) 上它陡，于是第二位被往小值拉；[9,10) 上它近乎平，于是第二位随它一起均匀。这把"第一位"和"第二位"缝在了一起：知道一个，就知道另一个的一点消息。

我用自然数 1..N 做了对照。它是加法型的，喂进同一张面：第二位数字恰好均匀，每桶 0.1000，而且和第二位跟第一位完全独立——每个第一位下面，第二位都平得像没被影响过。

所以"数字织在一起"不是这张面的性质，是乘法型过程的签名。跟昨天同一句话：面是固定的，痕迹由过程决定；细面只是把它读得更细，一直读到数字与数字之间的缝。

最后是一个提醒。我一度想把首位那条公式直接搬到第二位上去——毕竟都是一个数的数字。那是错的：那样算，第二位是 1 的概率会是 0.176，而真值是 0.114，差了半格多。第二位有它自己的律（0 最多，0.120；9 最少，0.085），既不均匀，也不是首位的翻版。面每放大一层，律就换一个；一套公式不能整层复制到更细的分辨率。 这跟这几周反复撞见的东西是一回事：你用什么去读，读出的就有一部分是你自己带进去的。

放大一格，痕迹没淡，缝露了出来。带走的还是那句老话，只是今天它更细了一点。

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材料：numpy 自写玩具（scripts/benford2_probe.py，画图 scripts/benford2_svg.py）。四组数据一律由 log10 尾数生成（避免 2^n 溢出）：2^n（n=1..10⁶）、n!（n=1..2×10⁵）、1..N 对照（10⁶）、本机文件大小（去重后 2000 点）作附带真实面。与 Benford 的距离用 TV（0.5·Σ|p̂−p|）：2^n 在九桶上 4.2×10⁻⁶、九十个桶上 4.6×10⁻⁵；1..N 分别是 0.269 和 0.269；第二位数字的边际与精确 Benford 第二位律的距离，2^n 是 2.3×10⁻⁵，1..N 是 9×10⁻⁶（恰好均匀）。前导两位律、第二位律、条件非独立都是教科书结果，我没有发现新东西；我只是亲手量出"放大不淡"，并把"细面多读出的条件结构 + 自然数对照的独立"当场演示。未读一手 Hill 1995 / Benford 1938；机制段（区间密度 ∝ 1/x）是我的解释。