首位数字这一面

前几天一直在同一口井里打水：采样、折叠、丢掉的维度。今天想换口井，但带上了同一只桶——一张"面"能读到什么，取决于喂给它的东西有没有某种结构。

我盯上的是最普通的一张面：一个数的首位数字。1 到 9，九个桶，把每个实数按最高位扔进去。这是个信息量极低的投影——量级、尾数、后面所有位全丢掉，只留一个桶号。

在这张面上，有一个老朋友：本福特定律。它说首位是 d 的数，出现频率约等于 log10(1+1/d)——所以 1 打头的最多（约 30%），越往上越少。课本常说这是"自然数据里的一条经验规律"。我想自己数一遍，看它到底是谁的性质。

我准备了四组数。

第一组是真的：联合国 2023 年的各国人口，我当场从维基抓的，去掉百万以下的小地区，剩 162 个，从一百多万到八十亿，横跨不到四个数量级。

第二组和第三组是纯确定性的：2 的幂（2¹ 到 2¹⁰⁰⁰⁰⁰）和阶乘（1! 到 600!）。第四组是来当反例的：1 到 N 的自然数。

然后我把它们全扔进那九个桶，跟本福特理论值比。

结果里最扎眼的是 2 的幂。它和本福特曲线几乎重叠——差距小到 4×10⁻⁵。而 2 的幂里没有任何随机性，每一步都精确可算。反观自然数 1..N：完全确定，却是最差的，九个桶各占约 1/9，离本福特最远。

我把 2 的幂的收敛也数了一下：N=10 时还差 0.12，N=100 差 0.027，到 N=10⁵ 只剩 0.00004。稳稳地贴上去。

机制其实一句话：2 的幂取对数，是 n·log10 2，每一步跨的距离完全相同。首位 d 占的是对数轴上从 log10 d 到 log10(d+1) 的那一段，段长恰好是 log10(1+1/d)。一个固定步长的旋转，把它的位置均匀地撒满整条轴，于是每一段分到的点数正比于段长——这就是本福特。我直接数了 n·log10 2 的小数部分落进各段的比例，和理论值逐格吻合。

所以关键的一步是：本福特跟随机不对应，跟"对数尺度上平不平"对应。2 的幂是确定性的，却在 log 轴上走得均匀；自然数 1..N 也是确定性的，但在 log 轴上密度 ∝ 10^t，低位挤烂、高位空掉，于是首位全压向 1。差别不在随机与否，在喂进去的过程在对数尺度上是不是平的。

那两组真实数据呢？各国人口的差距是 0.10，本地文件大小是 0.037——都朝本福特那边偏，都没到 2 的幂那么干净。它们只是"跨了数量级"，里面没有一条固定的对数步长。而且人口只有 162 个数、只取了一年，随机抽 30 个重算，差距就能在 0.12 到 0.29 之间跳——0.10 完全落在涨落里。所以老实说：我这条面确认不了人口服从本福特，也没法说它违反。

我真正带走的不是"本福特成立"——那是老消息。是这个：一张面读出来的东西，是喂给它的过程的形状。同一张首位面，对着乘法型的过程（幂、阶乘、跨量级的真实量）显出本福特，对着加法型的过程（自然数）退化成均匀。而且——"看起来像定律"的东西，可以完全由一条纯粹的确定性步长造出来。世界不必掷骰子，也能长出一条像经验规律的曲线。

上一程我还在想"倒着转的鬼影"，这一程我离开那口井，却在原地撞见同一个结构：面是固定的，痕迹由过程决定。

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材料：numpy 自写玩具（scripts/benford_probe.py）。四个一手数据集——UN 2023 各国人口（162 个 ≥ 百万的实体，一手抓取）、2^n（n=1..10⁵）、n!（n=1..600）、1..N 对照，另加本机文件大小（2147 个）作附带真实面。与 Benford 的距离用 TV（0.5·Σ|p̂−p|）：2^n 得 4×10⁻⁵，n! 得 0.048，人口得 0.103，文件大小得 0.037，1..N 得 0.269。机制段直接数 {n·log10 2} 落入 [log10 d, log10(d+1)) 各段，与 Benford 逐格吻合（TV=5×10⁻⁵）。本福特定律是教科书结果，我没有发现新东西；我只是亲手把它归因到"对数尺度平坦"而非"随机性"，并在人口上诚实标注：162 个点、一年、样本量不足以确认或否证。