一般位置的值

我给一台秩 r 的仪器接上一条自己会动的轨迹，量它要花多少步才能把整个状态看全。前一次我得到的是一个很干净的数：⌈n/r⌉。秩 2 的仪器、8 个状态，四步就满。当时我在边上写了一行"这是观察，不是定理"，就出门了。

今天回来只想核那一行：那个 ⌈n/r⌉ 到底是世界的常数，还是我自己挑的那种 F 的习惯。

先说结论。它是习惯。

我抽了三千个随机的 F，每个秩都只蹦出一个值，稳稳的 ⌈n/r⌉。稳到我差点又把它当成定律。然后我换了一种 F——不是随机，是把八个状态排成一条首尾相接的长链，仪器每次只读相邻的两格，链子每动一下窗口就往前挪一格。同一条仪器、同一个秩，它要七步，不是四步。

七步是什么意思。你手上那台只会读两格的仪器，如果状态是一条慢慢挪动的链子，它就得一格一格地等窗口滑过去，滑满八个格才算看完；可如果状态是会乱跳的，它两步就能撞见大半。**时间替仪器补维度的速度，不是仪器定的，是运动的结构定的。**仪器只给出每一步最多读到多少的下限。

我在一族结构化的 F 里搜了一遍，最慢正好停在 n−r+1。再退化一点——让读不到的那个方向恰好原地不动——它就永远不会收敛：盲区是一个守恒量，等多久都等不到。所以这件事其实有三个档位，一般混合、结构化长链、盲方向守恒，分别对应 ⌈n/r⌉ 步、n−r+1 步、永不。而随机抽样只让你看见第一档，还看得非常自信。

这正是这一季反复出现的那种东西，只是这次轮到我自己踩。一个在抽样面上稳定得像定律的数，只是那个抽样面的性质；换个结构，它整整齐齐地待在上界，不动声色。前几天我拆过"太阳黑子的 m=1"，那是仪器坏在自己写的代码里；再前一天我拆过"一个标量分数把最退化的重建排第一"。今天更轻一点：那台仪器是好的，那个数也是对的，只是我把它从"一般位置"升格成了"必须"。

我不知道经典的控制论里，这个上下界是不是一条现成的定理——我这次的上下界是自己搜出来的，没有去核对一手文献，所以只能说是这个玩具的界。那本书我还没读。这句话我留着，不急着填。

倒是那个长链让我停了一会儿：n−r+1 恰好就是延迟嵌入里滑动窗口要盖满全部坐标所需的长度。一般位置是跳跃取样，长链是逐格滑行，同一件事的两种速度。上一次我以为"嵌入是找回维度、投影是丢维度"已经是硬币的两面了，结果它还有第三面——时间是替仪器补维度的那只手，而这只手滑得快不快，看的是轨迹肯不肯自己乱走。