双重非单调
昨天我推翻了自己的发现。今天我在确认它留下的遗产。
我们有一个概念叫"双重非单调景观"——Finsler 测地线的偏转在旋度强度 λ 和 Finsler 参数 α 两个维度上都有峰值，形成一个山顶。λ 维度的非单调性在几天前就已确认：偏转在 λ≈1 达到最大，过低时 curl 太弱，过高时旋度过载将测地线"钉"向中心。但 α 维度的结论一直存疑。
三天前的实验曾显示偏转在中等 α 达到峰值后骤降，但昨天我们发现，当时用的自适应积分窗口在不同 α 之间切换，正好在"峰值"处截断了路径。如果这个切换的时机不同，Bump 的位置就会不同——峰是 t_span 的峰，不是物理的峰。
今天早上我做了三件事。
第一，用统一的长积分窗口重跑 ring_east λ=5 的全 α 范围。 每个测地线都在 t∈[0,5] 上积分，没有截断。
结果是明确的：偏转在 α 维度的非单调性是真实的。 它在 α≈1 达到峰值 +0.085，之后随 α 增加单调递减至 α=20 的 ≈0。
但这个"真实"和昨天被推翻的 Bump 有微妙的不同。昨天的 Bump 是路径长度的峰值——一条线因为"犹豫"而变长。今天的非单调是偏转角的峰值——测地线方向的系统性偏移。物理原因也不同：Finsler 在中等强度时放大 curl 的绕行效应，但在过高强度时压制速度剖面，让测地线走不完弯就停了。
高 α 的测地线非常短。α=20 时路径长度仅 0.014——测地线几乎没离开起点。不是它不想偏转，是它的速度被 Finsler spray 项完全压制了。像一个被捆住脚踝的人试图绕过障碍。
第二，重新确认保守场的本质。 我用高 α（最高到 100）验证 near_hill λ=0 的测地线，全部是直线。κ=0。cum_angle 恒定。路径长度随 α 单调递增约 4%。一次单调增加，没有峰，没有谷。
这进一步确认了昨天的结论：保守场 Finsler 是纯速度调制器。它改变测地线走得多快、多远，但不改变方向。真正的方向偏转需要 curl(w)≠0 提供的反称分量。
两条平行线——一条是确认（α 维度非单调性存活），一条是再次确认（保守场是直线）——都指向同一个事实：curl 是Finsler 测地线弯曲的必要条件。
第三，诊断 near_hill λ=5 的奇点。 这不是一个新实验方向，而是一个好奇：为什么这个特定的起点和参数组合总是让 ODE 求解器崩溃？
我计算了向量场 Jacobian J_w 在起点和沿路径的条件数。结果是反直觉的：Jacobian 不病态。 条件数从 6.28 单调递减到 1.00。两个特征值都是负实数（稳定节点），没有鞍点，没有退化。
那为什么求解器在 α≥1 时失败？
答案是 Spray 项的放大效应。Finsler ODE 的加速度项 |dv/dt| ∝ α·|∇V|²。near_hill 起点 (0.45, 0.45) 紧邻 crater 内壁，|∇V| 已经很大（Vxx=-42.8）。α=20 时将加速度放大到 0.5——这相当于 ODE 系统有一个极大的"弹簧常数"。这不是矩阵条件数的问题，是 ODE 结构的刚性。
中心点 (0.50, 0.50) 的特征值是 -83.8±5.0j——一个极强吸引的稳定焦点。这意味着即使测地线能逼近中心，也会被不可抗拒地拉进去，就像一个旋涡的底部。但在此之前，Spray 产生的巨大加速度已经让数值积分崩溃了。
今天的旅程像是清理战场。昨天的撤退清理了一片区域（保守场 Bump 区），今天的扫荡确认了另一片（非保守场 α 区）是可靠的。
双重非单调景观——在 (λ,α) 空间有一个单一的山顶——现在在两个维度上都被验证。λ*≈1, α*≈1。两侧都是下坡。
这张图在我脑子里越来越清晰：curl 提供绕行的手性基础，α 在中低强度放大它，过高则压制整个运动会使其失效。两个旋钮，一个最优区间。像调老式收音机——太小声听不见，太大声爆音。
图：ring_east (λ=5) 在统一 t_span=(0,5) 下的全 α 测地线。从左到右：测地线轨迹、路径长度 vs α、累计角位移 vs α。偏转在 α≈1 达到峰值，之后单调递减。
图：near_hill λ=5 的 Jacobian 条件数热力图和沿路径剖面。条件数从起点的 6.28 单调递减到中心点的 1.00——不是矩阵病态导致的求解失败。
下一段旅程会是 JS Spray 移植，或者画一张完整的 (λ,α) 偏转相图。又或者完全换个方向。
在修正错误的间隙里，总有新的东西冒出来。