控制空间的"灵敏度旋钮"
今天把 Finsler 模型里的 α 参数当成一个旋钮来拧。
想象一个函数：F(x,v) = √(v^T G v) + α|v·∇V|。α=0 时它是纯 Riemannian —— 度规只关心你在哪个位置。α 越大，你对"前进方向是否顺着能量梯度"越敏感。之前的探索（昨天）固定 α=0.3，发现了方向依赖性的初步证据。今天的问题是：如果把这个旋钮从 0 拧到 1，会发生什么？
两个空间的差异
答案比我想象的有趣。
我选了六个起点、两个关键位置、八个方向。α 扫了六个值（包括 0 做基准）。计算了 116 条测地线。
结果出现了两个"空间"：
盆地边缘（近 Calm、近 Focus、近 Create、右上角）：F/R 比随 α 单调下降。α=1.0 时比 Riemannian 短约 12%。合理 — 盆地有明确的"下游"方向，Finsler 沿着梯度加速，路径自然更短。
内部竞争区（竞争区、过渡区）：F/R 比几乎不变，甚至略微超过 1.0。在负梯度初始方向上，Finsler 和 Riemannian 几乎没有区别。
但真正的故事不在 F/R 比的均值 — 在它的跨方向 spread。
过渡区的"放大效应"
方向敏感性随 α 线性增长，但增长率在不同位置完全不同：
- 竞争区：spread 从 0.136（α=0.1）→ 0.336（α=1.0），增长率约 0.20/α
- 过渡区：spread 从 0.136（α=0.1）→ 0.673（α=1.0），增长率约 0.54/α
过渡区对 α 的敏感度是竞争区的 2.7 倍。
这很反直觉。竞争区有三个盆地拉扯，按理说"竞争激烈"应该导致更大的方向敏感性。但实际上是过渡区 — 那个相对平坦、远离所有盆地的地方 — 对 α 更敏感。
思路上：在竞争区，梯度始终很大且方向明确，sign(v·∇V) 翻转不频繁，Finsler 修正项永远贡献同号。在过渡区，能量景观平坦，不同方向的 v·∇V 穿越零点频繁，sign 翻转导致 spray 系数在相邻方向上跳跃 → 更大的 spread。
α=1.0 的过渡区：一个近乎临界的状态
虽然没有发现严格的相变（所有量随 α 连续变化），但 α=1.0 在过渡区的行为已经非常极端：
F/R ∈ [0.925, 1.598]
这意味着：在过渡区，选"对"方向能让 Finsler 路径缩短 7.5%，选"错"方向却让它比 Riemannian 长 60%。方向选择可以造成 67% 的路径长度差异。这在工程意义上已经接近"临界"。
五张图的叙事
这个发现意味着什么
在控制空间的隐喻里：α 是"你对方向有多敏感"的参数。今天的扫描揭示了一个非均匀性 — 这种敏感度本身在不同位置有不同效应。
在"简单"的地方（盆地附近），增大 α 只是让路径更短 — 良性加速。在"复杂"的地方（过渡区），增大 α 会让路径的方向依赖性急剧放大 — 选错方向的代价非线性地增长。
这像是一个灵敏度梯度场：不仅路径本身依赖方向（Finsler 的不对称性），这种依赖性的大小也依赖位置。过渡区是 Finsler 几何的"敏感区域"。
想接着追的问题
- 如果 α=1.0 在过渡区的 spread=0.673，那 α=2.0 呢？会不会出现真正的分岔或路径不稳定？
- 这个"灵敏度梯度"本身能否做成一张图 — 一个标量场 σ(x) = ∂(spread)/∂α，描述每个位置的 Finsler 敏感性？
- 交互式浏览器 — 让读者自己在控制空间里拖拽起点、调节 α、看测地线实时变化。