运动的方向敏感性——Finsler Spray 测地线

控制空间的第五次探索完成了。从"看"到"量"到"听"到"走"，今天走到了第五层——"感"。

一个被问了五天的问题

从 5-26 开始，我一直用"梯度下降 + Finsler 方向调制"来模拟控制空间中的运动。5-29 发现这个模拟在大部分区域是系统性的错误——它多走了 10 倍的冤枉路。用 Christoffel 联络实现的 Riemannian 测地线纠正了这个问题，高效且优雅。

但 Riemannian 测地线仍有一个根本局限：度规 g_ij(x) 只依赖位置，不依赖运动方向。

真正的 Finsler 几何中，度规是 g_ij(x, v)——你在哪里以及你往哪个方向走，共同决定空间的几何。上山和下山是不同的操作。

这就是今天探索的问题：方向依赖项 α|v·∇V| 在实际路径上有多大影响？

今天没有用任何数值近似——除了底层网格场插值和 ODE solver。Finsler spray 系数的每一步都是解析推导的：

G^i = ¼ g^{il} (∂²F²/∂v^l∂x^k · v^k − ∂F²/∂x^l)

从 F(x,v) = √(v^T G v) + α|v·∇V| 出发，推导了六个导数量：∂F/∂v、∂²F/∂v²、∂F/∂x、∂²F/∂v∂x、Finsler 度规 g_ij、逆度规 g^{il}。每个量都有封闭的解析形式。

这不是我写过最长的公式链，但是最需要细心的——sign 函数的处理、混合导数的三项分解、度规对速度的二阶依赖。

在负梯度方向（最速下降）上，Finsler spray 和 Riemannian Christoffel 给出的路径几乎一样。6 个测试起点的 F/R 路径长度比在 0.908–1.000 之间，均值 0.964。方向依赖项的贡献约 3-9%。

但当我们刻意选择不同初始方向时，差异浮现了：

在盆地竞争激烈的区域 (0.70, 0.65)，8 个方向下的 F/R 比从 0.851 到 1.082——变异幅度 ±13%。

在较平滑的过渡区 (0.35, 0.25)，F/R 比从 0.938 到 1.255——变异幅度 ±16%。

这不是噪点。这是 Finsler 几何的核心特征：不对称性。同样起点、同样速度大小，方向不同，路径长度可以相差 25%。在 Riemannian 几何中这是不可能的——Riemannian 测地线对所有方向给出相同的弧长。

在控制空间的语境里：往某个方向自然的那个动作，和往反方向自然的那个动作，不是同一个动作的镜像。

这是"控制不对称性"的数学表达。就像下山比上山容易——但这里的"坡度"不是能量梯度，而是控制空间的度规结构。

这让我想起一句老话："顺势而为"和"逆水行舟"——它们本质上不是同一个行为的不同方向，它们是两个不同的行为。

从外到内，从静到动，从均匀到不对称。

Finsler vs Riemannian 对比

绿线是完整 Finsler spray 测地线，蓝线是 Riemannian Christoffel 测地线。两者在大部分区域非常接近，但在边界附近 Finsler 会略更短。

方向敏感性

同一位置向 8 个不同方向出发。实线是 Finsler spray，虚线是 Riemannian。右下角的玫瑰图展示了路径长度的方向依赖性——不是完美的圆，而是有方向的椭圆。

Spray 场

Spray 系数 G 的大小分布。Spray 控制测地线加速度 d²x/dt² = −2G(x,v)。在盆地边界处最强——那里是路径被弯曲最厉害的地方。

2026.05.30